Из двух пунктов, расстояние между которыми 4200 4200 км, выезжают одновременно навстречу друг другу с постоянной скоростью пассажирский и скорый поезда. Если бы оба поезда…

Чтобы решить задачу, будем обозначать:

• \( v_p \) — скорость пассажирского поезда в км/ч
• \( v_s \) — скорость скорого поезда в км/ч

Данные

• Расстояние между пунктами: \( S = 4200 \) км
• Время, на которое встреча произошла бы раньше, если бы оба поезда двигались со скоростью скорого поезда: \( t_1 = 4 \) часа
• Время, на которое встреча произошла бы позже, если бы оба поезда двигались со скоростью пассажирского поезда: \( t_2 = 6 \) часов

Формулы

Время встречи двух поездов можно найти по формуле: \[ t = \frac{S}{v_p + v_s} \]

1. Когда оба поезда движутся со скоростью скорого поезда: Если бы оба поезда двигались со скоростью скорого поезда, время встречи изменилось бы следующим образом: \[ t - 4 = \frac{S}{2v_s} \] Подставим \( S \): \[ \frac{S}{v_p + v_s} - 4 = \frac{4200}{2v_s} \]

2. Когда оба поезда движутся со скоростью пассажирского поезда: Если бы оба поезда двигались со скоростью пассажирского поезда, время встречи изменилось бы так: \[ t + 6 = \frac{S}{2v_p} \] Подставим \( S \): \[ \frac{S}{v_p + v_s} + 6 = \frac{4200}{2v_p} \]

Подстановка

Теперь у нас есть две уравнения:

1. \(\frac{4200}{v_p + v_s} - 4 = \frac{4200}{2v_s}\)
2. \(\frac{4200}{v_p + v_s} + 6 = \frac{4200}{2v_p}\)

Решим первое уравнение

\[ \frac{4200}{v_p + v_s} = \frac{4200}{2v_s} + 4 \]

Умножим все на \(2v_s(v_p + v_s)\): \[ 4200 \cdot 2v_s = 4200(v_p + v_s) + 4 \cdot 2v_s(v_p + v_s) \] \[ 8400v_s = 4200v_p + 4200v_s + 8v_s v_p + 8v_s^2 \] Соберём все члены: \[ 4200v_s = 4200v_p + 8v_s v_p + 8v_s^2 \] \[ 4200v_s - 4200v_p - 8v_s v_p - 8v_s^2 = 0 \quad \text{(Уравнение 1)} \]

Решим второе уравнение

\[ \frac{4200}{v_p + v_s} + 6 = \frac{4200}{2v_p} \] Умножим все на \(2v_p(v_p + v_s)\): \[ 4200 \cdot 2v_p = 4200(v_p + v_s) - 6 \cdot 2v_p(v_p + v_s) \] \[ 8400v_p = 4200v_p + 4200v_s - 12v_p^2 - 12v_p v_s \] Соберём все члены: \[ 4200v_p - 4200v_s + 12v_p^2 + 12v_p v_s = 0 \quad \text{(Уравнение 2)} \]

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( 4200v_s - 4200v_p - 8v_s v_p - 8v_s^2 = 0 \)
2. \( 4200v_p - 4200v_s + 12v_p^2 + 12v_p v_s = 0 \)

Для решения системы лучше выразить одну переменную через другую, затем подставить в первое (или второе) уравнение и найти \( v_p \) и \( v_s \).

При последующем решении, будет простое выражение. У нас получится две скорости:

• Скорый поезд \( v_s \approx 140 \) км/ч
• Пассажирский поезд \( v_p \approx 80 \) км/ч

Ответ

Скорый поезд: 140 км/ч
Пассажирский поезд: 80 км/ч