(x+3)^4+2(x+3)^2-8=0 реши с заменой переменной
Чтобы решить уравнение \((x+3)^4 + 2(x+3)^2 - 8 = 0\) с заменой переменной, давай сделаем следующую замену:
Пусть \(u = (x + 3)^2\). Тогда \((x + 3)^4\) можно выразить как \(u^2\). В результате у нас получится следующее уравнение:
\[ u^2 + 2u - 8 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ u = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]
Здесь:
- \(a = 1\)
- \(b = 2\)
- \(c = -8\)
Подставим значения в формулу:
\[ u = \frac{{-2 \pm \sqrt{{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}}}{2 \cdot 1} \]
Посчитаем дискриминант:
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Теперь можем найти корни:
\[ u = \frac{{-2 \pm \sqrt{36}}}{2} \] \[ u = \frac{{-2 \pm 6}}{2} \]
Теперь найдем два значения для \(u\):
- \(u_1 = \frac{{-2 + 6}}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
- \(u_2 = \frac{{-2 - 6}}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)
Теперь у нас есть два значения \(u\): \(u_1 = 2\) и \(u_2 = -4\).
Теперь вернемся к переменной \(x\):
Для \(u_1 = 2\): \[ (x + 3)^2 = 2 \] Теперь извлечем корень: \[ x + 3 = \pm \sqrt{2} \] То есть: \[ x = -3 + \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x = -3 - \sqrt{2} \]
Для \(u_2 = -4\): \[ (x + 3)^2 = -4 \] Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Теперь подведем итог. У нас есть два действительных корня:
\[ x_1 = -3 + \sqrt{2} \] \[ x_2 = -3 - \sqrt{2} \]
Это и есть решение данного уравнения.
