Сума квадратов сторон прямоугольника 45 см^2 а его периметр равен 18 см. найдите стороны прямоугольника

Давайте разберем задачу шаг за шагом. У нас есть прямоугольник с суммой квадратов его сторон и периметром, и нам нужно найти длины его сторон. Обозначим длины сторон прямоугольника как \( a \) и \( b \). 1. **Запись известных величин:** - Сумма квадратов сторон: \( a^2 + b^2 = 45 \) (1) - Периметр прямоугольника: \( 2(a + b) = 18 \), откуда можно выразить сумму сторон: \[ a + b = 9 \quad (2) \] 2. **Выразим одну сторону через другую:** Из уравнения (2) выразим \( b \): \[ b = 9 - a \] 3. **Подставим в первое уравнение:** Подставим выражение для \( b \) в уравнение (1): \[ a^2 + (9 - a)^2 = 45 \] 4. **Раскроем скобки:** \[ a^2 + (9 - a)(9 - a) = a^2 + (81 - 18a + a^2) = 45 \] Объединим подобные: \[ 2a^2 - 18a + 81 = 45 \] 5. **Переносим все в одну сторону:** \[ 2a^2 - 18a + 36 = 0 \] 6. **Упростим уравнение:** Разделим все на 2: \[ a^2 - 9a + 18 = 0 \] 7. **Найдем дискриминант:** Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \] 8. **Найдем корни квадратного уравнения:** Используем формулу корней: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ a = \frac{9 \pm 3}{2} \] Получим два корня: - \( a_1 = \frac{12}{2} = 6 \) - \( a_2 = \frac{6}{2} = 3 \) 9. **Находим значения \( b \):** Если \( a = 6 \), то: \[ b = 9 - 6 = 3 \] Если \( a = 3 \), то: \[ b = 9 - 3 = 6 \] Таким образом, стороны прямоугольника равны 3 см и 6 см. **Ответ:** Стороны прямоугольника равны 3 см и 6 см.