сума квадратов сторон прямоугольника 45 см^2 а его периметр равен 18 см. найдите стороны прямоугольника
Давайте разберем задачу шаг за шагом. У нас есть прямоугольник с суммой квадратов его сторон и периметром, и нам нужно найти длины его сторон.
Обозначим длины сторон прямоугольника как \( a \) и \( b \).
Запись известных величин:
- Сумма квадратов сторон: \( a^2 + b^2 = 45 \) (1)
- Периметр прямоугольника: \( 2(a + b) = 18 \), откуда можно выразить сумму сторон: \[ a + b = 9 \quad (2) \]
Выразим одну сторону через другую: Из уравнения (2) выразим \( b \): \[ b = 9 - a \]
Подставим в первое уравнение: Подставим выражение для \( b \) в уравнение (1): \[ a^2 + (9 - a)^2 = 45 \]
Раскроем скобки: \[ a^2 + (9 - a)(9 - a) = a^2 + (81 - 18a + a^2) = 45 \] Объединим подобные: \[ 2a^2 - 18a + 81 = 45 \]
Переносим все в одну сторону: \[ 2a^2 - 18a + 36 = 0 \]
Упростим уравнение: Разделим все на 2: \[ a^2 - 9a + 18 = 0 \]
Найдем дискриминант: Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \]
Найдем корни квадратного уравнения: Используем формулу корней: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ a = \frac{9 \pm 3}{2} \]
Получим два корня:
- \( a_1 = \frac{12}{2} = 6 \)
- \( a_2 = \frac{6}{2} = 3 \)
Находим значения \( b \): Если \( a = 6 \), то: \[ b = 9 - 6 = 3 \] Если \( a = 3 \), то: \[ b = 9 - 3 = 6 \]
Таким образом, стороны прямоугольника равны 3 см и 6 см.
Ответ: Стороны прямоугольника равны 3 см и 6 см.
