Две одинаковых металлических дробинки массой по m=4,5 г каждая находятся в одной точке подвеса на тонких ниточках длиной L. Когда каждому шарику сообщили количество электронов, равное Ne=5×10^12, они разошлись, и нити образовали угол α= 90∘. Какова длина каждой ниточки L?
Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с физическими принципами, которые здесь задействованы.
1. **Исходные данные:**
- Масса дробинок \(m = 4,5 \, \text{г} = 0,0045 \, \text{кг}\) (перевели в килограммы).
- Количество электронов \(N_e = 5 \times 10^{12}\).
- Угол между нитями \(\alpha = 90^\circ\).
- Заряд электрона \(e = 1,6 \times 10^{-19} \, \text{Кл}\).
2. **Расчёт заряда дробинок:**
Заряд на каждой дробинке \(Q\) можно найти по формуле:
\[
Q = N_e \cdot e
\]
Подставив значения:
\[
Q = 5 \times 10^{12} \cdot 1,6 \times 10^{-19} = 8 \times 10^{-7} \, \text{Кл}
\]
3. **Силы, действующие на дробинки:**
В положении равновесия дробинки испытывают две силы:
- Силу тяжести \(F_g = m \cdot g\), где \(g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2\).
- Силу электростатического отталкивания \(F_e\), которую можем найти из закона Кулона:
\[
F_e = \frac{k \cdot Q^2}{r^2}
\]
где \(k \approx 8,99 \times 10^9 \, \text{Н м}^2/\text{Кл}^2\) — электростатическая постоянная, а \(r\) — расстояние между дробинками.
4. **Находим расстояние \(r\):**
Когда дробинки расходятся под углом \(90^\circ\), это означает, что расстояние между ними \(r\) можно выразить через длину ниточек \(L\):
\[
r = \sqrt{L^2 + L^2} = L \sqrt{2}
\]
5. **Сила тяжести:**
Сила тяжести:
\[
F_g = m \cdot g = 0,0045 \cdot 9,8 \approx 0,0441 \, \text{Н}
\]
6. **Условие равновесия:**
В равновесии:
\[
F_e = F_g
\]
Подставляем выражение для \(F_e\):
\[
\frac{k \cdot Q^2}{r^2} = m \cdot g
\]
Подставляя \(r\):
\[
\frac{k \cdot Q^2}{(L \sqrt{2})^2} = 0,0441
\]
Упрощаем:
\[
\frac{k \cdot Q^2}{2L^2} = 0,0441
\]
7. **Решение для \(L\):**
Перейдём к решению для \(L\):
\[
2L^2 \cdot 0,0441 = k \cdot Q^2
\]
\[
L^2 = \frac{k \cdot Q^2}{2 \cdot 0,0441}
\]
Подставим значения:
\[
L^2 = \frac{(8,99 \times 10^9) \cdot (8 \times 10^{-7})^2}{2 \cdot 0,0441}
\]
\[
L^2 = \frac{(8,99 \times 10^9) \cdot (6,4 \times 10^{-13})}{0,0882}
\]
\[
L^2 \approx \frac{5,758 \times 10^{-3}}{0,0882} \approx 0,0652
\]
\[
L \approx \sqrt{0,0652} \approx 0,2553 \, \text{м}
\]
8. **Ответ:**
Длина каждой ниточки \(L \approx 0,2553 \, \text{м}\), или примерно \(25,53 \, \text{см}\).
Таким образом, длина ниточки составляет около 25,5 см.
