В треугольнике M N K MNK ∠M=90°, ∠N=45°, M N = 24 2 . Чему равна гипотенуза этого треугольника?

Чтобы найти гипотенузу треугольника \(MNK\), в котором угол \(M = 90^\circ\) и угол \(N = 45^\circ\), мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника.

1. Определим третий угол:
   В любом треугольнике сумма всех углов равна \(180^\circ\). Поскольку один угол \(90^\circ\) и другой угол \(45^\circ\), третий угол \(K\) можно рассчитать следующим образом: \[ \angle K = 180^\circ - \angle M - \angle N = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \] Таким образом, треугольник \(MNK\) является равнобедренным, поскольку два его угла равны \(45^\circ\).

2. Стороны треугольника:
   Пусть \(MN\) – это одна из катетов, которая равна \(24\sqrt{2}\). Поскольку треугольник равнобедренный и углы \(N\) и \(K\) равны, оба катета \(MN\) и \(MK\) равны: \[ MN = MK = 24\sqrt{2} \]

3. Нахождение гипотенузы:
   Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения гипотенузы \(NK\): \[ NK^2 = MN^2 + MK^2 \] Подставим значения: \[ NK^2 = (24\sqrt{2})^2 + (24\sqrt{2})^2 \] Вычисляем: \[ (24\sqrt{2})^2 = 576 \cdot 2 = 1152 \] Тогда: \[ NK^2 = 1152 + 1152 = 2304 \] Теперь найдем \(NK\): \[ NK = \sqrt{2304} \] Вычисляем: \[ NK = 48 \]

Таким образом, гипотенуза \(NK\) равна \(48\).