Ваша задача касается употребления предлогов в русском языке. Рассмотрим каждую приведённую фразу и разберёмся, какие предлоги используются правильно и почему.
Идти по весеннему лесу, одеться по весеннему: Здесь "по" используется, чтобы указать на состояние или атмосферу, соответствующую весне. Такие выражения характеризуют обстановку.
Прибить ступеньку на верх лестницы, посмотреть на верх: Предлог "на" здесь указывает на направление действия: мы прикрепляем ступеньку на верхнюю часть лестницы.
Работать по новому, ехать по новому мосту: В первом случае "по" указывает на метод (как именно работаете), а во втором — "по" также указывает на передвижение по новому объекту (мосту).
В начале прочитай инструкцию, в начале романа: В обеих фразах "в" используется для обозначения момента во времени или месте, в который происходит действие.
В пустую банку, надеяться в пустую: В первом случае "в" указывает на состояние (что-то в банке), во втором же случае "в" показало бы надежду на что-то, что не имеет смысла, потому что выражение "надеяться в пустую" не является устойчивым. Правильнее сказать "надеяться на что-то".
На вес над клумбой, продавать гвозди на вес: "На" в этих фразах указывает на измерение. Продавать гвозди "на вес" означает продажу по весу, а "на вес над клумбой" может трактоваться как конструкция, указывающая на отношение.
На конец замолчал, успеть на конец фильма: Здесь "на" указывает на момент завершения действия. В первом случае подразумевается, что закончено было действие молчания, а во втором — завершение просмотра.
По прежнему маршруту, быть трудолюбивым по прежнему: "По" демонстрирует соответствие или сохранение прежнего состояния.
В итоге, употребление предлогов зависит от контекста фразы. Важно обращать внимание на то, как предлоги передают значение и соотношение между предметами и действиями. Если есть ещё вопросы по данной теме или неясные моменты, не стесняйтесь задавать!