В предложениях, которые вы привели, необходимо правильно расставить знаки препинания, в частности двоеточия. Давайте проанализируем каждое из них по порядку.
"Уже на небе рождались признаки приближающейся зари, наконец почувствовал он приближающуюся дремоту, захлопнул форточку, отошёл прочь, лёг в постель и скоро заснул как убитый, самым крепким сном (по Н. Гоголю)"
Здесь необходимо отметить, что это сложное предложение. Однако в нем нет необходимости в двоеточии, так как сами конструкции не требуют перечисления или объяснения.
"Жаль его хороший был офицер (по А. Пушкину)"
Это предложение также не требует двоеточий. Правильный знак препинания здесь — запятая перед словом "хороший", так как это вводная конструкция.
"Ступай, батюшка, велел впустить офицера (по А. Пушкину)"
Здесь тоже двоеточие не требуется. Вместо этого необходимо ставить запятые, потому что обращение "батюшка" выделяется запятыми.
"Марья Ивановна предупреждала: решение нашей судьбы сердце её сильно билось и замирало (по А. Пушкину)"
В данном случае необходимо поставить двоеточие после слова "предупреждала". Это объясняется тем, что вторая часть предложения является пояснением того, что именно она предупреждала.
Таким образом, единственным предложением, в котором потребуется поставить двоеточие, является:
"Марья Ивановна предупреждала: решение нашей судьбы сердце её сильно билось и замирало (по А. Пушкину)"
Итог: выберите только этот вариант.