Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, нужно помнить, что радиус вписанной окружности (обозначаемый как ( r )) равен:
[
r = \frac{S}{p}
]
где ( S ) — площадь треугольника, а ( p ) — полупериметр треугольника.
Шаг 1: Находим полупериметр
Для равностороннего треугольника, все три стороны равны. Если сторона равностороннего треугольника равна ( a = 12\sqrt{3} ), то полупериметр ( p ) вычисляется следующим образом:
[
p = \frac{a + a + a}{2} = \frac{3a}{2} = \frac{3(12\sqrt{3})}{2} = \frac{36\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}
]
Шаг 2: Находим площадь треугольника
Площадь ( S ) равностороннего треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2
]
Подставляем ( a = 12\sqrt{3} ):
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4}(12\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 \cdot 3 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 432 = 108\sqrt{3}
]
Шаг 3: Находим радиус вписанной окружности
Теперь подставим найденные значения площади ( S ) и полупериметра ( p ) в формулу для радиуса:
[
r = \frac{S}{p} = \frac{108\sqrt{3}}{18\sqrt{3}} = \frac{108}{18} = 6
]
Ответ
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной ( 12\sqrt{3} ), равен 6.
