Симметричную монету подбрасывают три раза. Найдите вероятность того, что выпал ровно один орёл, если известно, что: а) при первом броске выпал орёл; б) не все три раза выпал орёл,…

Задача 1: Бросок симметричной монеты дважды.

1. Событие A: «два раза выпал орел»
   Возможные исходы при двух бросках:

   • ОО (орел, орел)
   • ОР (орел, решка)
   • РО (решка, орел)
   • РР (решка, решка)

   Вероятность события A:
   \[ P(A) = P(ОО) = \frac{1}{4} \]

2. Событие B: «при одном броске выпал орел, а при другом решка»
   Возможные исходы для события B:

   • ОР (орел, решка)
   • РО (решка, орел)

   Вероятность события B:
   \[ P(B) = P(ОР) + P(РО) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Сравнение вероятностей:

• \( P(A) = \frac{1}{4} \)
• \( P(B) = \frac{1}{2} \)

Таким образом, вероятности событий A и B не равны.

Задача 2: Бросок двух игральных костей.

Общее количество исходов при броске двух костей = \(6 \cdot 6 = 36\).

1. а) Событие: «сумма очков на обеих костях равна 7»
   Возможные пары, которые дают сумму 7:

   • (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)
     Всего 6 успешных исходов.
     \[ P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]

2. б) Событие: «сумма очков на обеих костях больше 8, и на зеленой кости выпало больше двух очков»
   Возможные комбинации для суммы больше 8:

   • (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
     При условии, что зеленая кость > 2, нам нужны:
   • (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
     Успешных исходов: 10 (из которых 8 удовлетворяют нашему условию)
     \[ P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \]

3. в) Событие: «на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой»
   Пары, где желтая кость больше зеленой:

   • (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)
     Всего 15 успешных исходов.
     \[ P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \]

Задача 3: Правильная игральная кость бросается дважды.

Общее количество исходов при двух бросках = 36.

1. а) Событие: «при одном из бросков выпало 5 очков»
   С успешными исходами, где 5 попадает в один из двух бросков (4 исхода с 1 броском 5 и 5 с другим):

   • (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
   • (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5)
     Итог: 11 успешных исходов.
     \[ P = \frac{11}{36} \]

2. б) Событие: «в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков»
   Возможные пары: (1, 2), (2, 1), (2, 2), (1, 1), (1, 3), (3, 1).
   Всего 6 исходов удовлетворяют условиям.
   \[ P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]

Задача 4: "Морской бой"

Предположим, что корабли имеют длину: 4, 3, 2.

Допустим, в игре всего 10 точек (5 на 5 сетке). *)

1. а) Вероятность попасть в четырёхпалубный корабль.
   Четырёхпалубный может находиться на 5 позициях на линии. И предположим 5 возможных положений.
   Вероятность: \( P = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \) (в зависимости от вероятности размеров, это может быть по другому).

2. б) Вероятность попасть в трёхпалубный корабль.
   Трёхпалубный может находиться на 8 местах на сетке (в зависимости от расположения).
   \( P = \frac{8}{10} \).

3. в) Вероятность попасть в двухпалубный корабль.
   Двухпалубный может находиться на 10 местах на сетке.
   \( P = \frac{10}{10} = 1 \).

Задача 5: Улицы

В городе 5 улиц:

• 2 улицы идут параллельно (Север-Юг)
• 3 улицы идут параллельно (Запад-Восток)

Сколько перекрестков:

• 2 (Сев.-Юг.) x 3 (Зап.-Вост.) = 6 перекрестков.

Общее количество возможных выборов:
Постовые могут встать на любые разные улицы и 6 перекрестков:

• \( 6 \times 5 = 30 \).

Количество способов, когда оба постовых на одной улице:

1. Оба постовых на одной из улиц: на 2 север-юг (1, 2) и 3 зап.-вост. (1, 2, 3)
   • Для первой 3 (2 на одной улице, 1 на другой)
   • Пары: 2 (Север-Юг) + 2 (Запад-Восток)
     = 2 + 3 = 5 на одной улице.

Следовательно, вероятность:
\[ P = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \]

Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы или вам нужно уточнить что-то из решений, дайте знать!

Давайте по порядку рассмотрим каждую задачу, чтобы найти необходимые вероятности.

Задача 1: Бросок симметричной монеты дважды

1. Событие A: «два раза выпал орел».
   Возможные исходы:

   • ОО (орел, орел)
   • ОР (орел, решка)
   • РО (решка, орел)
   • РР (решка, решка)
     Всего 4 исхода. Вероятность события A:
     \[ P(A) = \frac{1}{4} \]

2. Событие B: «при одном броске выпал орел, а при другом — решка».
   Возможные успешные исходы:

   • ОР
   • РО
     Вероятность события B:
     \[ P(B) = P(ОР) + P(РО) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \]

Сравнение вероятностей:

• \( P(A) = \frac{1}{4} \)
• \( P(B) = \frac{1}{2} \)

Таким образом, вероятности событий A и B не равны.

Задача 2: Бросок двух игральных костей

Общее количество исходов при броске двух костей = \(6 \cdot 6 = 36\).

1. а) Событие: «сумма очков на обеих костях равна 7».
   Возможные пары, которые дают сумму 7:

   • (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)
     Всего 6 успешных исходов.
     \[ P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]

2. б) Событие: «сумма очков на обеих костях больше 8, и на зеленой кости выпало больше двух очков».
   Возможные комбинации для суммы больше 8:

   • (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
     Успешные комбинации, где на зеленой кости > 2:
   • (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5)
     Получаем 8 успешных исходов:
     \[ P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \]

3. в) Событие: «на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой».
   Пары, где желтая кость больше зеленой:

   • (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)
     Всего 15 успешных исходов.
     \[ P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \]

Задача 3: Правильная игральная кость бросается дважды

Общее количество исходов = 36.

1. а) Событие: «при одном из бросков выпало 5 очков».
   Возможные успешные исходы:

   • (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
   • (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5)
     Всего 11 успешных исходов.
     \[ P = \frac{11}{36} \]

2. б) Событие: «в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков».
   Возможные пары:

   • (1, 1): сумма 2
   • (1, 2), (2, 1): сумма 3
   • (1, 3), (3, 1), (2, 2): сумма 4
   • (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1): сумма 5
   • (2, 4), (4, 2), (3, 3): сумма 6

   Успешные исходы: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,2), (1,4), (4,1), (2,3), (3,2)
   Итак, 10 успешных исходов.
   \[ P = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \]

Задача 4: "Морской бой"

Обозначим корабли:

• Четырехпалубный — 1
• Трехпалубный — 2
• Двухпалубный — 3

Общее количество палуб — 14 + 23 + 3*2 = 12.
Теперь нужно найти вероятность попадания в каждый из кораблей.

1. а) Вероятность попадания в четырёхпалубный корабль:
   \[ P = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

2. б) Вероятность попадания в трёхпалубный корабль:
   \[ P = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]

3. в) Вероятность попадания в двухпалубный корабль:
   \[ P = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]

Задача 5: Улицы

В городе 5 улиц. Из них:

• 2 идут с севера на юг (Параллельные)
• 3 идут с запада на восток (Параллельные)

Общее количество перекрестков: \(2 \times 3 = 6\).

Постовые могут встать на любые два перекрестка. Вариантов выбрать два перекрестка из 6:

• \( \binom{6}{2} = 15 \)

Теперь найдем количество способов, когда оба постовых стоят на одной улице. Для этого потребуется:

1. 2 постовых на одной из двух улиц Север-Юг (это 1 улица, 1 вариант);
2. 2 постовых на одной из трех улиц Запад-Восток (это 3 варианта).

Итак, вероятность того, что они стоят на одной улице: Общее количество способов на одной улице: \( 2 + 6 = 8 \) (для 2 улиц 6 вариантов (2 на 1 улице + 3 на другой).

Следовательно, вероятность: \[ P = \frac{8}{15} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по каждому пункту, пожалуйста, дайте знать!