докажите неравенства (x+1)²>x(x+2)

Чтобы доказать неравенство \((x + 1)^2 > x(x + 2)\), разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Раскроем скобки

Начнем с того, что раскроем обе части неравенства.

1. Левая часть: \[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \]

2. Правая часть: \[ x(x + 2) = x^2 + 2x \]

Шаг 2: Запишем полное неравенство

Теперь можем переписать неравенство: \[ x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x \]

Шаг 3: Упростим неравенство

Вычтем \(x^2 + 2x\) с обеих сторон: \[ x^2 + 2x + 1 - (x^2 + 2x) > 0 \]

Что упрощается до: \[ 1 > 0 \]

Шаг 4: Интерпретация результата

Неравенство \(1 > 0\) всегда верно для любых значений \(x\).

Шаг 5: Заключение

Таким образом, мы доказали неравенство: \[ (x + 1)^2 > x(x + 2) \] для всех значений \(x\). Это значит, что неравенство выполняется всегда.