Чтобы понять, какие из предложенных вариантов объясняют правильное написание выделенных слов, проанализируем каждое из них по отдельности.
ПО-ОТЕЧЕСКИ - выделенное слово действительно наречие, образованное от прилагательного "отечественный". Обычно такие слова пишутся через дефис, так как "по-" является приставкой, а "-ически" – суффиксом. Это объяснение корректно.
НАСТЕЖЬ - это слово действительно пишется с мягким знаком на конце, но правило здесь иное: мягкий знак не пишется на конце наречий, оканчивающихся на "-ежь", "еж", "н" и т.д., после шипящих, поэтому данное объяснение неверно.
НЕЗДЕШНИЙ - в этом слове приставка "не-" и основа "дешний" не относятся к правилам, касающимся звонких согласных. Поэтому данное объяснение тоже неверно.
ЦыЦ - это правило для написания буквы "ы" после "ц" действительно является исключением в русском языке. Поэтому данное объяснение корректно.
ПРИМИРЯТЬ - пишется безударная гласная, и здесь действительно речь идет о чередовании в корнях, что делает это объяснение также правильным.
Теперь, основываясь на вышеизложенном анализе, мы можем выделить правильные пояснения:
Правильные объяснения: 1, 4 и 5.