y=x+7 и у=x2+7.найти S-фигуру ограничениями
Для решения задачи по нахождению площади (S) фигуры, ограниченной кривыми \( y = x + 7 \) и \( y = x^2 + 7 \), следуйте следующим шагам:
Шаг 1: Определение пересечений кривых
Для начала найдем точки пересечения данных функций. Для этого необходимо приравнять правые части уравнений:
\[ x + 7 = x^2 + 7 \]
Отнимем 7 с обеих сторон:
\[ x = x^2 \]
Приведем уравнение к стандартному виду:
\[ x^2 - x = 0 \]
Факторизуем:
\[ x(x - 1) = 0 \]
Таким образом, получаем два решения:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 1 \]
Шаг 2: Определение значений функций в точках пересечения
Теперь найдем значения \( y \) для \( x = 0 \) и \( x = 1 \).
- При \( x = 0 \):
- \( y = 0 + 7 = 7 \)
- При \( x = 1 \):
- \( y = 1 + 7 = 8 \)
Таким образом, точки пересечения: \( (0, 7) \) и \( (1, 8) \).
Шаг 3: Определение области интегрирования и площади
Теперь найдем, какая функция выше, а какая ниже, на отрезке от 0 до 1.
- Для \( x = 0.5 \) (проверим порядок функций):
- \( y = 0.5 + 7 = 7.5 \)
- \( y = (0.5)^2 + 7 = 0.25 + 7 = 7.25 \)
Таким образом, на отрезке от 0 до 1: \( y = x + 7 \) находится выше \( y = x^2 + 7 \).
Шаг 4: Вычисление площади
Площадь \( S \) ограниченной области вычисляется по формуле:
\[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \]
Где \( f(x) = x + 7 \) и \( g(x) = x^2 + 7 \), а \( a = 0 \) и \( b = 1 \).
Запишем интеграл:
\[ S = \int_{0}^{1} ((x + 7) - (x^2 + 7)) \, dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \]
Шаг 5: Вычисление интеграла
Теперь вычислим интеграл:
\[ S = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \int_{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx \]
Вычислим каждый из интегралов:
Для \( \int_{0}^{1} x \, dx \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg|_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \]
Для \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]
Теперь подставим эти значения в формулу для площади:
\[ S = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \]
Ответ
Площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = x + 7 \) и \( y = x^2 + 7 \), составляет \( \frac{1}{6} \) квадратных единиц.
