Y=x+7 и у=x2+7.найти S-фигуру ограничениями

Для решения задачи по нахождению площади (S) фигуры, ограниченной кривыми \( y = x + 7 \) и \( y = x^2 + 7 \), следуйте следующим шагам: ### Шаг 1: Определение пересечений кривых Для начала найдем точки пересечения данных функций. Для этого необходимо приравнять правые части уравнений: \[ x + 7 = x^2 + 7 \] Отнимем 7 с обеих сторон: \[ x = x^2 \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ x^2 - x = 0 \] Факторизуем: \[ x(x - 1) = 0 \] Таким образом, получаем два решения: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 1 \] ### Шаг 2: Определение значений функций в точках пересечения Теперь найдем значения \( y \) для \( x = 0 \) и \( x = 1 \). 1. При \( x = 0 \): - \( y = 0 + 7 = 7 \) 2. При \( x = 1 \): - \( y = 1 + 7 = 8 \) Таким образом, точки пересечения: \( (0, 7) \) и \( (1, 8) \). ### Шаг 3: Определение области интегрирования и площади Теперь найдем, какая функция выше, а какая ниже, на отрезке от 0 до 1. - Для \( x = 0.5 \) (проверим порядок функций): - \( y = 0.5 + 7 = 7.5 \) - \( y = (0.5)^2 + 7 = 0.25 + 7 = 7.25 \) Таким образом, на отрезке от 0 до 1: \( y = x + 7 \) находится выше \( y = x^2 + 7 \). ### Шаг 4: Вычисление площади Площадь \( S \) ограниченной области вычисляется по формуле: \[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \] Где \( f(x) = x + 7 \) и \( g(x) = x^2 + 7 \), а \( a = 0 \) и \( b = 1 \). Запишем интеграл: \[ S = \int_{0}^{1} ((x + 7) - (x^2 + 7)) \, dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \] ### Шаг 5: Вычисление интеграла Теперь вычислим интеграл: \[ S = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \int_{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx \] Вычислим каждый из интегралов: 1. Для \( \int_{0}^{1} x \, dx \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg|_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \] 2. Для \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \] Теперь подставим эти значения в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \] ### Ответ Площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = x + 7 \) и \( y = x^2 + 7 \), составляет \( \frac{1}{6} \) квадратных единиц.