Никанор бросает симметричную монету 101 раз. Во сколько раз вероятность события «орёл выпадет ровно 84 ра-за» превосходит вероятность события «решка выпадет ровно 16 раз»?
Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать биномиальное распределение, так как мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний (броски монеты).
Шаг 1: Определение вероятностей
- Вероятность выпадения орла при броске симметричной монеты равна \( p = 0.5 \).
- Вероятность выпадения решки также равна \( 1 - p = 0.5 \).
Биномиальное распределение
Формула для биномиального распределения, когда мы рассматриваем событие, которое происходит \( k \) раз при \( n \) испытаниях, выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \),
- \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае 0.5),
- \( 1 - p \) — вероятность неуспеха.
Шаг 2: Рассчитаем вероятности
- Вероятность того, что орёл выпадет ровно 84 раза из 101 броска:
\[ P(X = 84) = C(101, 84) (0.5)^{84} (0.5)^{101-84} = C(101, 84) (0.5)^{101} \]
- Вероятность того, что решка выпадет ровно 16 раз из 101 броска:
\[ P(Y = 16) = C(101, 16) (0.5)^{16} (0.5)^{101-16} = C(101, 16) (0.5)^{101} \]
Шаг 3: Сравнение вероятностей
Теперь, чтобы найти, во сколько раз вероятность того, что орёл выпадет ровно 84 раза, превосходит вероятность того, что решка выпадет ровно 16 раз, мы вычислим:
\[ \frac{P(X = 84)}{P(Y = 16)} = \frac{C(101, 84)}{C(101, 16)} \]
Шаг 4: Вычисление сочетаний
Можно использовать свойство сочетаний:
\[ C(n, k) = C(n, n-k) \]
Следовательно, \( C(101, 84) = C(101, 17) \).
Теперь тогда мы имеем:
\[ \frac{C(101, 84)}{C(101, 16)} = \frac{C(101, 17)}{C(101, 16)} \]
Используя свойство сочетаний, можно выразить его так:
\[ C(101, 17) = \frac{101!}{17! \cdot (101-17)!} \] \[ C(101, 16) = \frac{101!}{16! \cdot (101-16)!} \]
Теперь, подставив это в выражение, получаем:
\[ \frac{C(101, 17)}{C(101, 16)} = \frac{101!/(17! \cdot 84!)}{101!/(16! \cdot 85!)} = \frac{85!}{17!} \cdot \frac{16!}{84!} = \frac{85}{17} = 5 \]
Ответ
Таким образом, вероятность события «орёл выпадет ровно 84 раза» превосходит вероятность события «решка выпадет ровно 16 раз» в 5 раз.
