Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать биномиальное распределение, так как мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний (броски монеты).
Шаг 1: Определение вероятностей
- Вероятность выпадения орла при броске симметричной монеты равна ( p = 0.5 ).
- Вероятность выпадения решки также равна ( 1 - p = 0.5 ).
Биномиальное распределение
Формула для биномиального распределения, когда мы рассматриваем событие, которое происходит ( k ) раз при ( n ) испытаниях, выглядит так:
[
P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — число сочетаний из ( n ) по ( k ),
- ( p ) — вероятность успеха (в нашем случае 0.5),
- ( 1 - p ) — вероятность неуспеха.
Шаг 2: Рассчитаем вероятности
- Вероятность того, что орёл выпадет ровно 84 раза из 101 броска:
[
P(X = 84) = C(101, 84) (0.5)^{84} (0.5)^{101-84} = C(101, 84) (0.5)^{101}
]
- Вероятность того, что решка выпадет ровно 16 раз из 101 броска:
[
P(Y = 16) = C(101, 16) (0.5)^{16} (0.5)^{101-16} = C(101, 16) (0.5)^{101}
]
Шаг 3: Сравнение вероятностей
Теперь, чтобы найти, во сколько раз вероятность того, что орёл выпадет ровно 84 раза, превосходит вероятность того, что решка выпадет ровно 16 раз, мы вычислим:
[
\frac{P(X = 84)}{P(Y = 16)} = \frac{C(101, 84)}{C(101, 16)}
]
Шаг 4: Вычисление сочетаний
Можно использовать свойство сочетаний:
[
C(n, k) = C(n, n-k)
]
Следовательно, ( C(101, 84) = C(101, 17) ).
Теперь тогда мы имеем:
[
\frac{C(101, 84)}{C(101, 16)} = \frac{C(101, 17)}{C(101, 16)}
]
Используя свойство сочетаний, можно выразить его так:
[
C(101, 17) = \frac{101!}{17! \cdot (101-17)!}
]
[
C(101, 16) = \frac{101!}{16! \cdot (101-16)!}
]
Теперь, подставив это в выражение, получаем:
[
\frac{C(101, 17)}{C(101, 16)} = \frac{101!/(17! \cdot 84!)}{101!/(16! \cdot 85!)} = \frac{85!}{17!} \cdot \frac{16!}{84!} = \frac{85}{17} = 5
]
Ответ
Таким образом, вероятность события «орёл выпадет ровно 84 раза» превосходит вероятность события «решка выпадет ровно 16 раз» в 5 раз.
