Давайте разберём каждое из предоставленных утверждений на основе текста источника.
В тексте источника речь идет о событиях 1645 года.
- Это неверно. Речь идёт о событиях, связанных с Земским собором и избранием Михаила Романова в 1613 году.
Одной из причин выбора нового царя являлся его опыт и зрелый возраст.
- Это неверно. Михаил Романов был выбран, несмотря на молодость (16 лет), за его связь с влиятельными кругами и желание примирения различных политических фракций.
Земский собор во время избрания нового царя также рассматривал кандидатуру от "иноземных государств".
- Это неверно. Как указано в тексте, собор решил «никаких иноземных государств на Московское государство не избирать».
Семья избранного царя в годы правления Ивана IV стала жертвой опричной политики.
- Это верно. В тексте говорится о том, что члены семейства Романовых и сам Филарет пострадали в годы опричнины.
Описанные в тексте документа события относятся к 1613 году.
- Это верно. Михаил Романов был избран в 1613 году.
Кандидатура избранного царя пользовалась большой популярностью среди казачества и среди тех, кто Филарета находясь в Тушине считал «нареченным патриархом».
- Это верно. Романовы были популярны среди казачества, и пребывание Филарета в Тушине добавляло им поддержки.
Таким образом, верными являются утверждения 4, 5 и 6.