В треугольнике АВС проведена медиана ВК. Известно, что АВ = ВС. Найдите АС, если AB = 50, a BK = 14.
Рассмотрим задачу, в которой у нас есть равнобедренный треугольник \( ABC \), где \( AB = BC = 50 \), и медиана \( BK \) равна 14.
Пошаговое решение:
Понять, что такое медиана: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В нашем случае \( BK \) — это медиана, проведенная из вершины \( B \) к середине отрезка \( AC \).
Определяем, где находится точка K: Так как \( K \) является серединой отрезка \( AC \), мы можем сказать, что \( AK = KC \).
Применим теорему о медиане: В треугольнике медиана разбивает его на два меньших треугольника, которые имеют равные площади. Также существует формула для нахождения длины медианы: \[ m = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} \] где \( m \) — длина медианы, \( a \) и \( b \) — длины боковых сторон, а \( c \) — основание, к которому проведена медиана.
В нашей задаче:
- \( AB = 50 \) (сторона \( a \))
- \( BC = 50 \) (сторона \( b \))
- \( AC = c \) (длина, которую мы ищем)
- \( BK = 14 \) (медиана)
Подставим известные значения в формулу: \[ 14 = \sqrt{\frac{2 \cdot 50^2 + 2 \cdot 50^2 - c^2}{4}} \]
Упрощаем: \[ 14 = \sqrt{\frac{2 \cdot 2500 + 2 \cdot 2500 - c^2}{4}} = \sqrt{\frac{10000 - c^2}{4}} \] \[ 14 = \frac{\sqrt{10000 - c^2}}{2} \]
Избавимся от дроби: Умножаем обе стороны на 2: \[ 28 = \sqrt{10000 - c^2} \]
Возведем обе стороны в квадрат: \[ 28^2 = 10000 - c^2 \] \[ 784 = 10000 - c^2 \]
Решим уравнение относительно \( c^2 \): \[ c^2 = 10000 - 784 \] \[ c^2 = 9216 \] \[ c = \sqrt{9216} \]
Находим длину \( c \): \[ c = 96 \]
Ответ:
Таким образом, длина стороны \( AC \) составляет 96 единиц.
