Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми? б) Найдите вероятность…

Давайте разберем задачу этапами.

Часть а) Проверяем, являются ли события независимыми

События:

1. A: «в первый раз выпал орёл»
2. B: «решка выпала дважды»

Определение независимости: События A и B считаются независимыми, если выполняется следующее равенство: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Шаг 1: Находим вероятности событий A и B.

1. Вероятность события A (в первый раз выпал орёл):

   • При бросании симметричной монеты вероятность выпасть орлом (O) или решкой (R) равна 0.5.
   • Таким образом, \( P(A) = 0.5 \).

2. Вероятность события B (решка выпала дважды):

   • Мы можем рассмотреть все возможные исходы, которые приводят к двум решкам за три броска.

   • Возможные комбинации исходов, когда решка выпала дважды (R) и один раз орел (O):

     • RRO
     • ROR
     • OРR

   • Всего существует \( 2^3 = 8 \) возможных исходов для трёх бросков, а удачных — 3.

   • Таким образом, вероятность B: \[ P(B) = \frac{3}{8} \]

Шаг 2: Находим вероятность совместного события A и B.

Для того чтобы как событие A произошло (первый бросок — орёл), а событие B (две решки) также произошло, нам нужно учесть, что орел выпадает на первом броске. Поэтому остальным двум броскам необходимо выпасть решкой, что является единственным возможным исходом:

• O, R, R

Значит,: \[ P(A \cap B) = P(ORR) = \frac{1}{8} \]

Шаг 3: Проверяем равенство для независимости.

Теперь подставим найденные вероятности в условие независимости: \[ P(A \cap B) = \frac{1}{8} \] \[ P(A) \cdot P(B) = 0.5 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \]

Сравнивая:

• \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} = \frac{2}{16} \)
• \( P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{16} \)

Так как \( \frac{2}{16} \neq \frac{3}{16} \), события A и B не являются независимыми.

Часть б) Находим вероятность объединения событий A и B

Для нахождения вероятности объединения событий A и B используем формулу: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Подставим известные вероятности:

1. \( P(A) = 0.5 \)
2. \( P(B) = \frac{3}{8} \)
3. \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} \)

Теперь действуем по формуле: \[ P(A \cup B) = 0.5 + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} \]

Приведем к общему знаменателю (8): \[ 0.5 = \frac{4}{8} \] Таким образом: \[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4 + 3 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

Ответ

а) События A и B не являются независимыми.
б) Вероятность объединения этих событий \( P(A \cup B) = \frac{3}{4} \).