Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми? б) Найдите вероятность объединения этих событий.

Давайте разберем задачу этапами. ### Часть а) Проверяем, являются ли события независимыми **События:** 1. A: «в первый раз выпал орёл» 2. B: «решка выпала дважды» **Определение независимости:** События A и B считаются независимыми, если выполняется следующее равенство: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] **Шаг 1: Находим вероятности событий A и B.** 1. **Вероятность события A** (в первый раз выпал орёл): - При бросании симметричной монеты вероятность выпасть орлом (O) или решкой (R) равна 0.5. - Таким образом, \( P(A) = 0.5 \). 2. **Вероятность события B** (решка выпала дважды): - Мы можем рассмотреть все возможные исходы, которые приводят к двум решкам за три броска. - Возможные комбинации исходов, когда решка выпала дважды (R) и один раз орел (O): - RRO - ROR - OРR - Всего существует \( 2^3 = 8 \) возможных исходов для трёх бросков, а удачных — 3. - Таким образом, вероятность B: \[ P(B) = \frac{3}{8} \] **Шаг 2: Находим вероятность совместного события A и B.** Для того чтобы как событие A произошло (первый бросок — орёл), а событие B (две решки) также произошло, нам нужно учесть, что орел выпадает на первом броске. Поэтому остальным двум броскам необходимо выпасть решкой, что является единственным возможным исходом: - O, R, R Значит,: \[ P(A \cap B) = P(ORR) = \frac{1}{8} \] **Шаг 3: Проверяем равенство для независимости.** Теперь подставим найденные вероятности в условие независимости: \[ P(A \cap B) = \frac{1}{8} \] \[ P(A) \cdot P(B) = 0.5 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \] Сравнивая: - \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} = \frac{2}{16} \) - \( P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{16} \) Так как \( \frac{2}{16} \neq \frac{3}{16} \), события A и B **не являются независимыми**. ### Часть б) Находим вероятность объединения событий A и B Для нахождения вероятности объединения событий A и B используем формулу: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] **Подставим известные вероятности:** 1. \( P(A) = 0.5 \) 2. \( P(B) = \frac{3}{8} \) 3. \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} \) Теперь действуем по формуле: \[ P(A \cup B) = 0.5 + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} \] Приведем к общему знаменателю (8): \[ 0.5 = \frac{4}{8} \] Таким образом: \[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4 + 3 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \] ### Ответ а) События A и B не являются независимыми. б) Вероятность объединения этих событий \( P(A \cup B) = \frac{3}{4} \).