Ox: x^3 - 6x^2 + 4

Давайте разберем функцию \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 4 \) и сначала найдем ее критические точки. Для этого мы будем использовать производную. ### Шаг 1: Найдем производную функции Для функции \( f(x) \) находим производную: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 4) = 3x^2 - 12x \] ### Шаг 2: Найдем критические точки Критические точки находятся, когда производная равна нулю: \[ 3x^2 - 12x = 0 \] Мы можем вынести общий множитель \( 3x \): \[ 3x(x - 4) = 0 \] Теперь, чтобы найти значения \( x \), при которых это равенство выполнено, приравняем каждое из множителей к нулю: \[ 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] \[ x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \] Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 4 \). ### Шаг 3: Определим характер критических точек Теперь нам нужно определить, являются ли эти точки максимумами, минимумами или точками перегиба. Для этого мы можем использовать вторую производную. Находим вторую производную: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x) = 6x - 12 \] Теперь подставим критические точки: 1. Для точки \( x = 0 \): \[ f''(0) = 6(0) - 12 = -12 \] Так как \( f''(0) < 0 \), это говорит нам о том, что в точке \( x = 0 \) находится локальный максимум. 2. Для точки \( x = 4 \): \[ f''(4) = 6(4) - 12 = 12 \] Так как \( f''(4) > 0 \), это говорит нам о том, что в точке \( x = 4 \) находится локальный минимум. ### Шаг 4: Значения функции в критических точках Теперь давайте найдем значения функции в этих критических точках: 1. Для \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 4 = 4 \] 2. Для \( x = 4 \): \[ f(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 4 = 64 - 96 + 4 = -28 \] ### Шаг 5: Итог - Локальный максимум: \( (0, 4) \) - Локальный минимум: \( (4, -28) \) Таким образом, мы выяснили, что функция \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 4 \) имеет локальный максимум в точке \( (0, 4) \) и локальный минимум в точке \( (4, -28) \). Если у вас будут дополнительные вопросы или нужны уточнения, не стесняйтесь спрашивать!