03:58:38 Осталось на прохождение теста вопрос 2 из 20 Математический блок Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с…
03:58:38 Осталось на прохождение теста вопрос 2 из 20 Математический блок Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Чтобы решить эту задачу, we need to model the relationship between the tax rate and the income from the sales of the boots using a quadratic function.
Предположим, что зависимость дохода \( R \) от налоговой ставки \( x \) имеет вид квадратичной функции:
\[ R(x) = ax^2 + bx + c \]
Из условия задачи нам даны три точки, которые мы можем запечатлеть в виде координат:
- \( (10, 1.3) \)
- \( (27, 1.6) \)
- \( (33, 1.3) \)
Составим систему уравнений. Для этого подставим каждую точку в уравнение суммарного дохода \( R(x) \):
Для \( (10, 1.3) \): \[ 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \implies 1.3 = 100a + 10b + c \quad (1) \]
Для \( (27, 1.6) \): \[ 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \implies 1.6 = 729a + 27b + c \quad (2) \]
Для \( (33, 1.3) \): \[ 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \implies 1.3 = 1089a + 33b + c \quad (3) \]
Теперь вычтем уравнение (1) из уравнений (2) и (3):
Из (2) минус (1): \[ (1.6 - 1.3) = 729a + 27b + c - (100a + 10b + c) \] \[ 0.3 = 629a + 17b \quad (4) \]
Из (3) минус (1): \[ (1.3 - 1.3) = 1089a + 33b + c - (100a + 10b + c) \] \[ 0 = 989a + 23b \quad (5) \]
Теперь у нас есть две линейные системы (4) и (5):
Из (5) выразем \( b \): \[ b = -\frac{989}{23} a \quad (6) \]
Подставим (6) в (4): \[ 0.3 = 629a + 17\left(-\frac{989}{23} a\right) \] \[ 0.3 = 629a - \frac{16813}{23} a \] \[ 0.3 = \frac{629 \times 23 - 16813}{23} a \] \[ 0.3 = \frac{14467 - 16813}{23} a \] \[ 0.3 = -\frac{2346}{23} a \] \[ a = -\frac{0.3 \times 23}{2346} \approx -0.00285 \]
Подставляя \( a \) обратно в (6) находим \( b \): \[ b = -\frac{989}{23} (-0.00285) \approx 0.12 \]
Полное выражение для функции дохода: Теперь нам нужно найти значение \( c \). Это можно сделать, подставив значения \( a \) и \( b \) например в уравнение (1): \[ 1.3 = -0.00285(100) + 0.12(10) + c \]
После решения получим функциональное выражение для дохода.
Максимум функции: Поскольку это парабола, максимальное значение будет достигнуто в вершине: \[ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} \] Подставив еще раз \( a \) и \( b \): \[ x_{\text{max}} = -\frac{0.12}{2 \cdot (-0.00285)} \approx 21.05 \]
Таким образом, максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет примерно 21%.
