Необходимо собрать колебательный контур частотой 3 мГц, используя катушку индуктивностью 1,3 мГн. Какова должна быть ёмкость конденсатора? -
Чтобы рассчитать ёмкость конденсатора, необходимую для создания колебательного контура с заданной частотой, можно воспользоваться формулой для частоты колебательного контура:
\[ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \]
где:
- \( f \) — частота (в герцах),
- \( L \) — индуктивность (в генри),
- \( C \) — ёмкость (в фарадах).
Шаг 1: Преобразуем формулу
Мы хотим выразить ёмкость \( C \). Для этого можно преобразовать формулу:
\[ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \implies 2\pi f \sqrt{LC} = 1 \implies \sqrt{LC} = \frac{1}{2\pi f} \]
Теперь возводим обе стороны в квадрат:
\[ LC = \left(\frac{1}{2\pi f}\right)^2 \]
Теперь делим обе стороны на \( L \):
\[ C = \frac{1}{L(2\pi f)^2} \]
Шаг 2: Подставим известные значения
Теперь подставим известные значения в формулу:
- \( f = 3 \, \text{мГц} = 3 \times 10^6 \, \text{Гц} \)
- \( L = 1.3 \, \text{мГн} = 1.3 \times 10^{-3} \, \text{Гн} \)
Подставим эти значения в уравнение для \( C \):
\[ C = \frac{1}{1.3 \times 10^{-3} \cdot (2\pi \cdot 3 \times 10^6)^2} \]
Шаг 3: Вычисления
Сначала вычислим \( (2\pi \cdot 3 \times 10^6)^2 \):
\[ 2\pi \cdot 3 \approx 18.8496 \]
\[ (2\pi \cdot 3 \times 10^6)^2 \approx (18.8496 \times 10^6)^2 \approx 3.556 \times 10^{14} \]
Теперь подставим это значение в формулу для \( C \):
\[ C = \frac{1}{1.3 \times 10^{-3} \cdot 3.556 \times 10^{14}} \]
Теперь умножим:
\[ 1.3 \times 3.556 \approx 4.6228 \]
\[ C \approx \frac{1}{4.6228 \times 10^{11}} \approx 2.163 \times 10^{-12} \text{ Ф} \]
Шаг 4: Переведём в более удобные единицы
Таким образом, ёмкость конденсатора:
\[ C \approx 2.163 \, \text{пФ} \]
Ответ
Чтобы собрать колебательный контур с частотой 3 мГц, используя катушку индуктивностью 1,3 мГн, ёмкость конденсатора должна составлять примерно 2.16 пФ.
