Чтобы рассчитать ёмкость конденсатора, необходимую для создания колебательного контура с заданной частотой, можно воспользоваться формулой для частоты колебательного контура:
[
f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}
]
где:
- ( f ) — частота (в герцах),
- ( L ) — индуктивность (в генри),
- ( C ) — ёмкость (в фарадах).
Шаг 1: Преобразуем формулу
Мы хотим выразить ёмкость ( C ). Для этого можно преобразовать формулу:
[
f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \implies 2\pi f \sqrt{LC} = 1 \implies \sqrt{LC} = \frac{1}{2\pi f}
]
Теперь возводим обе стороны в квадрат:
[
LC = \left(\frac{1}{2\pi f}\right)^2
]
Теперь делим обе стороны на ( L ):
[
C = \frac{1}{L(2\pi f)^2}
]
Шаг 2: Подставим известные значения
Теперь подставим известные значения в формулу:
- ( f = 3 , \text{мГц} = 3 \times 10^6 , \text{Гц} )
- ( L = 1.3 , \text{мГн} = 1.3 \times 10^{-3} , \text{Гн} )
Подставим эти значения в уравнение для ( C ):
[
C = \frac{1}{1.3 \times 10^{-3} \cdot (2\pi \cdot 3 \times 10^6)^2}
]
Шаг 3: Вычисления
Сначала вычислим ( (2\pi \cdot 3 \times 10^6)^2 ):
[
2\pi \cdot 3 \approx 18.8496
]
[
(2\pi \cdot 3 \times 10^6)^2 \approx (18.8496 \times 10^6)^2 \approx 3.556 \times 10^{14}
]
Теперь подставим это значение в формулу для ( C ):
[
C = \frac{1}{1.3 \times 10^{-3} \cdot 3.556 \times 10^{14}}
]
Теперь умножим:
[
1.3 \times 3.556 \approx 4.6228
]
[
C \approx \frac{1}{4.6228 \times 10^{11}} \approx 2.163 \times 10^{-12} \text{ Ф}
]
Шаг 4: Переведём в более удобные единицы
Таким образом, ёмкость конденсатора:
[
C \approx 2.163 , \text{пФ}
]
Ответ
Чтобы собрать колебательный контур с частотой 3 мГц, используя катушку индуктивностью 1,3 мГн, ёмкость конденсатора должна составлять примерно 2.16 пФ.
