Давайте решим задачу, пошагово анализируя условия и используя формулу для определения пути, времени и скорости.
Условия задачи
- Катер проплыл:
- 24 км по течению (с течением)
- 16 км против течения (против течения)
- Время в пути: 4 часа
- Скорость катера в стоячей воде: 10 км/ч
Обозначения
Обозначим скорость течения реки как ( v ) км/ч.
Скорости
- Скорость катера по течению: ( 10 + v ) км/ч (катер движется быстрее за счет течения).
- Скорость катера против течения: ( 10 - v ) км/ч (катер движется медленнее из-за течения).
Время в пути
Используем формулу:
[
\text{время} = \frac{\text{путь}}{\text{скорость}}.
]
Теперь найдем время, затраченное на каждую часть пути:
Время по течению:
[
t_1 = \frac{24}{10 + v}.
]
Время против течения:
[
t_2 = \frac{16}{10 - v}.
]
Общее время
Согласно условию задачи, общее время равно 4 часам:
[
t_1 + t_2 = 4.
]
Подставим выражения для времени:
[
\frac{24}{10 + v} + \frac{16}{10 - v} = 4.
]
Решение уравнения
Теперь решим это уравнение.
Умножим обе стороны на ( (10 + v)(10 - v) ) (чтобы убрать дроби):
[
24(10 - v) + 16(10 + v) = 4(10 + v)(10 - v).
]
Раскроем скобки:
[
240 - 24v + 160 + 16v = 4(100 - v^2).
]
Упростим уравнение:
[
400 - 8v = 400 - 4v^2.
]
Переносим все на одну сторону:
[
4v^2 - 8v = 0.
]
Вынесем общий множитель:
[
4v(v - 2) = 0.
]
Находим значения
- ( v = 0 ) (скорость течения равна нулю, не подходит, так как есть текущее движение).
- ( v - 2 = 0 ) ⇒ ( v = 2 ).
Ответ
Скорость течения реки равна ( 2 ) км/ч.
Проверка
Теперь проверим значения:
По течению: скорость ( 10 + 2 = 12 ) км/ч.
[
t_1 = \frac{24}{12} = 2 \text{ ч}.
]
Против течения: скорость ( 10 - 2 = 8 ) км/ч.
[
t_2 = \frac{16}{8} = 2 \text{ ч}.
]
Общее время:
[
t_1 + t_2 = 2 + 2 = 4 \text{ ч}.
]
Все сходится, значит, решение верное! Скорость течения реки составляет 2 км/ч.
