Катер проплыл 24 км по течению реки и 16 км против течения, затратив на весь путь 4 часа. Найдите скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде равна 10 км/ч.
Давайте решим задачу, пошагово анализируя условия и используя формулу для определения пути, времени и скорости.
Условия задачи
- Катер проплыл:
- 24 км по течению (с течением)
- 16 км против течения (против течения)
- Время в пути: 4 часа
- Скорость катера в стоячей воде: 10 км/ч
Обозначения
Обозначим скорость течения реки как \( v \) км/ч.
Скорости
- Скорость катера по течению: \( 10 + v \) км/ч (катер движется быстрее за счет течения).
- Скорость катера против течения: \( 10 - v \) км/ч (катер движется медленнее из-за течения).
Время в пути
Используем формулу: \[ \text{время} = \frac{\text{путь}}{\text{скорость}}. \]
Теперь найдем время, затраченное на каждую часть пути:
Время по течению: \[ t_1 = \frac{24}{10 + v}. \]
Время против течения: \[ t_2 = \frac{16}{10 - v}. \]
Общее время
Согласно условию задачи, общее время равно 4 часам: \[ t_1 + t_2 = 4. \]
Подставим выражения для времени: \[ \frac{24}{10 + v} + \frac{16}{10 - v} = 4. \]
Решение уравнения
Теперь решим это уравнение.
Умножим обе стороны на \( (10 + v)(10 - v) \) (чтобы убрать дроби): \[ 24(10 - v) + 16(10 + v) = 4(10 + v)(10 - v). \]
Раскроем скобки: \[ 240 - 24v + 160 + 16v = 4(100 - v^2). \]
Упростим уравнение: \[ 400 - 8v = 400 - 4v^2. \]
Переносим все на одну сторону: \[ 4v^2 - 8v = 0. \]
Вынесем общий множитель: \[ 4v(v - 2) = 0. \]
Находим значения
- \( v = 0 \) (скорость течения равна нулю, не подходит, так как есть текущее движение).
- \( v - 2 = 0 \) ⇒ \( v = 2 \).
Ответ
Скорость течения реки равна \( 2 \) км/ч.
Проверка
Теперь проверим значения:
По течению: скорость \( 10 + 2 = 12 \) км/ч. \[ t_1 = \frac{24}{12} = 2 \text{ ч}. \]
Против течения: скорость \( 10 - 2 = 8 \) км/ч. \[ t_2 = \frac{16}{8} = 2 \text{ ч}. \]
Общее время: \[ t_1 + t_2 = 2 + 2 = 4 \text{ ч}. \]
Все сходится, значит, решение верное! Скорость течения реки составляет 2 км/ч.
