Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника, можно воспользоваться формулой:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)
]
где ( S ) — площадь треугольника, ( a ) и ( b ) — стороны, которые образуют угол ( C ).
В нашем случае треугольник равнобедренный, и боковые стороны равны, поэтому:
- ( a = b = 6 \sqrt{2} )
- ( C = 75° )
Подставим значения в формулу:
[
S = \frac{1}{2} \times (6 \sqrt{2}) \times (6 \sqrt{2}) \times \sin(75°)
]
Сначала упростим:
[
S = \frac{1}{2} \times 72 \times \sin(75°)
]
Зная, что ( \sin(75°) = \sin(45° + 30°) = \sin(45°) \cos(30°) + \cos(45°) \sin(30°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} ), можно вычислить:
[
\sin(75°) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
]
Теперь подставим значение ( \sin(75°) ):
[
S = \frac{1}{2} \times 72 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
]
Упрощаем:
[
S = 18 \times (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 18\sqrt{6} + 18\sqrt{2}
]
Таким образом, площадь равнобедренного треугольника равна:
[
S = 18\sqrt{6} + 18\sqrt{2}
]
