Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать формулу для средней квадратичной скорости молекул (средняя скорость молекул идеального газа) в зависимости от температуры и массы молекул. Средняя квадратичная скорость ( v_{ср} ) выражается следующей формулой:
[
v_{ср} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}
]
где:
- ( v_{ср} ) — средняя квадратичная скорость молекул,
- ( k ) — постоянная Больцмана (( k \approx 1.38 \times 10^{-23} , \text{Дж/К} )),
- ( T ) — температура в Кельвинах,
- ( m ) — масса молекулы в килограммах.
1. Находим среднюю квадратичную скорость молекул водорода (H₂)
Молекулярная масса водорода ( H_2 ) примерно равна ( 2 , \text{г/моль} ) или ( 2 \times 10^{-3} , \text{кг/моль} ). Для одной молекулы водорода:
[
m_{H_2} = \frac{2 \times 10^{-3}}{N_A}
]
где ( N_A = 6.022 \times 10^{23} , \text{молекул/моль} ) — число Авогадро. Подставим значения:
[
m_{H_2} = \frac{2 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23}} \approx 3.32 \times 10^{-27} , \text{кг}
]
Теперь подставим массу в формулу средней квадратичной скорости при температуре ( T = 300 , \text{К} ):
[
v_{ср, H_2} = \sqrt{\frac{3 \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot 300}{3.32 \times 10^{-27}}}
]
Теперь мы вычислим значение:
[
v_{ср, H_2} \approx \sqrt{\frac{1.242 \times 10^{-20}}{3.32 \times 10^{-27}}} \approx \sqrt{3.74 \times 10^{6}} \approx 1935 , \text{м/с}
]
2. Находим температуру, при которой средняя квадратичная скорость молекул азота (N₂) будет равна средней квадратичной скорости водорода
Для молекулы азота молекулярная масса ( N_2 ) примерно равна ( 28 , \text{г/моль} ) или ( 28 \times 10^{-3} , \text{кг/моль} ). Аналогично, масса одной молекулы azота:
[
m_{N_2} = \frac{28 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23}} \approx 4.65 \times 10^{-26} , \text{кг}
]
Теперь мы хотим найти температуру ( T ), при которой:
[
v_{ср, N_2} = v_{ср, H_2} = 1935 , \text{м/с}
]
Подставляем в формулу для средних квадратичных скоростей:
[
1935 = \sqrt{\frac{3 \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot T}{4.65 \times 10^{-26}}}
]
Теперь возведём обе стороны в квадрат:
[
1935^2 = \frac{3 \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot T}{4.65 \times 10^{-26}}
]
Вычислим ( 1935^2 ):
[
3740225 = \frac{4.14 \times 10^{-23} \cdot T}{4.65 \times 10^{-26}}
]
Теперь перемножим и решим уравнение для ( T ):
[
T = \frac{3740225 \cdot 4.65 \times 10^{-26}}{4.14 \times 10^{-23}} \approx 425.36 , \text{К}
]
Ответ
Средняя квадратичная скорость молекул водорода при 300 К составляет примерно 1935 м/с. Чтобы средняя квадратичная скорость молекул азота была равна этой скорости, необходимо нагреть азот до температуры примерно 425.36 К.
