Найдите tga если cos a 10/корень из 104 и a принадлежит (1.5П: 2П)

Чтобы найти \(\tan a\) при условии, что \(\cos a = \frac{10}{\sqrt{104}}\) и угол \(a\) принадлежит интервалу \((\frac{3\pi}{2}, 2\pi)\), будем следовать следующим шагам.

Шаг 1: Найти \(\sin a\)

Для начала используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Так как мы знаем \(\cos a\), подставим его значение в тождество.

1. Вычислим \(\cos^2 a\): \[ \cos^2 a = \left(\frac{10}{\sqrt{104}}\right)^2 = \frac{100}{104} = \frac{25}{26} \]

2. Подставим значение \(\cos^2 a\) в тождество и найдем \(\sin^2 a\): \[ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26} \]

3. Найдем \(\sin a\), извлекая корень: \[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} \quad \text{или} \quad -\frac{1}{\sqrt{26}} \]

Шаг 2: Определяем знак \(\sin a\)

Так как угол \(a\) принадлежит интервалу \((\frac{3\pi}{2}, 2\pi)\), то это четвертый квадрат, где синус отрицателен. Следовательно: \[ \sin a = -\frac{1}{\sqrt{26}} \]

Шаг 3: Найти \(\tan a\)

Теперь, зная \(\sin a\) и \(\cos a\), можем найти \(\tan a\): \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \]

Подставляем значения: \[ \tan a = \frac{-\frac{1}{\sqrt{26}}}{\frac{10}{\sqrt{104}}} \]

Чтобы выполнить деление дробей, умножим на обратную: \[ \tan a = -\frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{104}}{10} = -\frac{\sqrt{104}}{10\sqrt{26}} \]

Заметим, что \(\sqrt{104} = \sqrt{4 \cdot 26} = 2\sqrt{26}\). Подставляем это значение: \[ \tan a = -\frac{2\sqrt{26}}{10\sqrt{26}} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5} \]

Ответ

Таким образом, \(\tan a = -\frac{1}{5}\).