Решение

Давайте разберем задания по порядку.

Вариант А1

1. Вычислите:

   1. \( 3 \log_2 8 + \log_3 9 \)
   2. \( 2 \log_2 6 + \log_5 12 \)

   Решение:

   1. \(\log_2 8\) — это степень, в которую нужно возвести число 2, чтобы получить 8. Так как \(8 = 2^3\), то \(\log_2 8 = 3\). Следовательно, \(3 \log_2 8 = 3 \times 3 = 9\).

      \(\log_3 9\) — это степень, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 9. Так как \(9 = 3^2\), то \(\log_3 9 = 2\).

      Поэтому, \(3 \log_2 8 + \log_3 9 = 9 + 2 = 11\).

   2. \(\log_2 6\) и \(\log_5 12\). Эти логарифмы вычисляются через формулу изменения основания или калькулятором. Таким образом, мы получаем сложное числовое выражение.

2. Решите уравнения:

   \( a) \log_2 (x^2 - x) = 1 \)

   Решение:

   \(\log_2 (x^2 - x) = 1\) означает, что \(2^1 = x^2 - x\).

   Выражение становится: \(x^2 - x = 2\).

   Решим квадратное уравнение: \(x^2 - x - 2 = 0\).

   Найдем корни: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).

   Для \(x^2 - x - 2 = 0\): \(a = 1, b = -1, c = -2\).

   Дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).

   Корни: \(x = \frac{1 \pm 3}{2}\).

   \(x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1\).

   Так как логарифм определен только для положительных значений, решением будет \(x = 2\).

Вариант А2

1. Решите систему:

   \[ \begin{cases} \log_2 (y + 2x) = 1 \\ \log_3 (15 - y) = 2 \end{cases} \]

   Решение:

   1. \(\log_2 (y + 2x) = 1\) означает, что \(2^1 = y + 2x\), то есть \(y + 2x = 2\).

   2. \(\log_3 (15 - y) = 2\) означает, что \(3^2 = 15 - y\), то есть \(15 - y = 9\).

      Отсюда \(y = 6\).

   Подставляем \(y = 6\) в первое уравнение:

   \(6 + 2x = 2\).

   \(2x = 2 - 6 = -4\).

   \(x = -2\).

   Решение системы: \(x = -2\), \(y = 6\).

Пожалуйста, напишите, если хотите решить другие задачи или нуждаетесь в дополнительных объяснениях.