Решите задание 390

Рассмотрим задание 390:

Даны уравнения, которые необходимо решить. Запишем одно из этих уравнений и решим его, объясняя каждый шаг:

Уравнение: \[ \frac{x + 3}{x - 2} + \frac{4}{x + 2} = \frac{x + 5}{x^2 - 4} \]

Поясним шаги решения уравнения:

1. Общая задача:

   • Нам нужно найти значение \(x\), при котором выполняется это равенство.

2. Заметьте, что знаменатель справа \(x^2 - 4\):

   • Это разложение \((x - 2)(x + 2)\).

3. Приведение к общему знаменателю:

   • Преобразуйте левую часть, чтобы знаменатель был \((x - 2)(x + 2)\).
   • Итак, запишем: \[ \frac{x + 3}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{4}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{x + 5}{(x - 2)(x + 2)} \]
   • Преобразования дают: \[ \frac{(x + 3)(x + 2) + 4(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 5}{(x - 2)(x + 2)} \]

4. Упрощение числителя:

   • Раскроем скобки в числителе: \[ (x + 3)(x + 2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6 \] \[ 4(x - 2) = 4x - 8 \]
   • Складываем: \[ x^2 + 5x + 6 + 4x - 8 = x^2 + 9x - 2 \]

5. Уравниваем числители:

   • Теперь у нас: \[ \frac{x^2 + 9x - 2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 5}{(x - 2)(x + 2)} \]
   • Так как знаменатели равны, уравниваем числители: \[ x^2 + 9x - 2 = x + 5 \]

6. Переносим все элементы на одну сторону: \[ x^2 + 9x - 2 - x - 5 = 0 \] \[ x^2 + 8x - 7 = 0 \]

7. Решаем квадратное уравнение:

   • Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \times 1 \times (-7) \] \[ D = 64 + 28 = 92 \]
   • Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{92}}{2} \]
   • Упростим \(\sqrt{92}\): \[ \sqrt{92} = \sqrt{4 \times 23} = 2\sqrt{23} \]
   • Получаем корни: \[ x_1 = \frac{-8 + 2\sqrt{23}}{2} = -4 + \sqrt{23} \] \[ x_2 = \frac{-8 - 2\sqrt{23}}{2} = -4 - \sqrt{23} \]

Таким образом, решение уравнения: \[ x = -4 + \sqrt{23} \] \[ x = -4 - \sqrt{23} \]

Эти корни являются решением уравнения.

Примечание: Необходимо проверить, не обращают ли эти значения знаменатель в исходном уравнении в ноль. В данном случае этого не происходит.