Решите задание 390

Рассмотрим задание 390: Даны уравнения, которые необходимо решить. Запишем одно из этих уравнений и решим его, объясняя каждый шаг: Уравнение: \[ \frac{x + 3}{x - 2} + \frac{4}{x + 2} = \frac{x + 5}{x^2 - 4} \] Поясним шаги решения уравнения: 1. **Общая задача:** - Нам нужно найти значение \(x\), при котором выполняется это равенство. 2. **Заметьте, что знаменатель справа \(x^2 - 4\):** - Это разложение \((x - 2)(x + 2)\). 3. **Приведение к общему знаменателю:** - Преобразуйте левую часть, чтобы знаменатель был \((x - 2)(x + 2)\). - Итак, запишем: \[ \frac{x + 3}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{4}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{x + 5}{(x - 2)(x + 2)} \] - Преобразования дают: \[ \frac{(x + 3)(x + 2) + 4(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 5}{(x - 2)(x + 2)} \] 4. **Упрощение числителя:** - Раскроем скобки в числителе: \[ (x + 3)(x + 2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6 \] \[ 4(x - 2) = 4x - 8 \] - Складываем: \[ x^2 + 5x + 6 + 4x - 8 = x^2 + 9x - 2 \] 5. **Уравниваем числители:** - Теперь у нас: \[ \frac{x^2 + 9x - 2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 5}{(x - 2)(x + 2)} \] - Так как знаменатели равны, уравниваем числители: \[ x^2 + 9x - 2 = x + 5 \] 6. **Переносим все элементы на одну сторону:** \[ x^2 + 9x - 2 - x - 5 = 0 \] \[ x^2 + 8x - 7 = 0 \] 7. **Решаем квадратное уравнение:** - Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \times 1 \times (-7) \] \[ D = 64 + 28 = 92 \] - Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{92}}{2} \] - Упростим \(\sqrt{92}\): \[ \sqrt{92} = \sqrt{4 \times 23} = 2\sqrt{23} \] - Получаем корни: \[ x_1 = \frac{-8 + 2\sqrt{23}}{2} = -4 + \sqrt{23} \] \[ x_2 = \frac{-8 - 2\sqrt{23}}{2} = -4 - \sqrt{23} \] Таким образом, решение уравнения: \[ x = -4 + \sqrt{23} \] \[ x = -4 - \sqrt{23} \] Эти корни являются решением уравнения. **Примечание:** Необходимо проверить, не обращают ли эти значения знаменатель в исходном уравнении в ноль. В данном случае этого не происходит.