21. Теплоход проходит против течения реки до пункта назначения 56 56 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найди скорость течения, если скорость теплохода в…
21. Теплоход проходит против течения реки до пункта назначения 56 56 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найди скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 21 21 км/ч, стоянка длится 11 11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 17 17 часов после отплытия из него.
Для решения задачи, давайте обозначим данные и использовать их в расчетах.
Данные:
- Расстояние до пункта назначения (против течения): \(56\) км
- Скорость теплохода в неподвижной воде: \(v_{boat} = 21\) км/ч
- Время стоянки: \(T_{stop} = 11\) часов
- Общее время от отправления до возвращения в пункт отправления: \(T_{total} = 17\) часов
Обозначим:
- Скорость течения реки как \(v_{current}\) км/ч.
Шаг 1: Определим время, затраченное на движение.
Общее время в пути можно выразить через время, затраченное на движение против течения и по течению:
\[ T_{total} = T_{up} + T_{down} + T_{stop} \]
где:
- \(T_{up}\) — время в пути против течения,
- \(T_{down}\) — время в пути по течению.
Таким образом, зная, что \(T_{stop} = 11\) часов, мы можем записать:
\[ T_{up} + T_{down} = T_{total} - T_{stop} = 17 - 11 = 6 \text{ часов} \]
Шаг 2: Выразим время в пути против течения и по течению.
Время в пути можно выразить через расстояние и скорость. Сначала определим время в пути против течения:
\[ T_{up} = \frac{56}{v_{boat} - v_{current}} \]
И время в пути по течению:
\[ T_{down} = \frac{56}{v_{boat} + v_{current}} \]
Шаг 3: Подставим выражения для времени в общую формулу.
Теперь подставим \(T_{up}\) и \(T_{down}\) в уравнение:
\[ \frac{56}{21 - v_{current}} + \frac{56}{21 + v_{current}} = 6 \]
Шаг 4: Упростим уравнение.
Умножим обе стороны на общее основание \( (21 - v_{current})(21 + v_{current}) \):
\[ 56(21 + v_{current}) + 56(21 - v_{current}) = 6(21^2 - v_{current}^2) \]
Упростим:
\[ 56(21 + v_{current} + 21 - v_{current}) = 6(441 - v_{current}^2) \]
\[ 56 \cdot 42 = 6(441 - v_{current}^2) \]
\[ 2352 = 2646 - 6v_{current}^2 \]
Шаг 5: Найдем \(v_{current}^2\).
Переносим все в одну часть уравнения:
\[ 6v_{current}^2 = 2646 - 2352 \]
\[ 6v_{current}^2 = 294 \]
\[ v_{current}^2 = 49 \]
Шаг 6: Находим скорость течения.
Теперь найдем \(v_{current}\):
\[ v_{current} = \sqrt{49} = 7 \text{ км/ч} \]
Ответ:
Скорость течения реки составляет \(7\) км/ч.
Подведение итогов: Мы использовали информацию о времени, расстоянии и скорости для составления уравнений, которые позволили нам найти скорость течения реки.
