Треугольник ABC: угол A равен 45*, угол B равен 60*, BC=8 Корней из 6. Найти AC

Чтобы найти длину стороны AC в треугольнике ABC, где угол A равен 45°, угол B равен 60° и длина стороны BC равна \( 8 \sqrt{6} \), мы можем воспользоваться теоремой синусов.

Шаг 1: Определение угла C

Сначала находим угол C. Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

\[ C = 180° - A - B = 180° - 45° - 60° = 75° \]

Теперь у нас есть все углы треугольника:

• Угол A = 45°
• Угол B = 60°
• Угол C = 75°

Шаг 2: Применение теоремы синусов

Теорема синусов гласит:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

где:

• \( a \) – длина стороны BC (напротив угла A),
• \( b \) – длина стороны AC (напротив угла B),
• \( c \) – длина стороны AB (напротив угла C).

В нашем случае:

• \( a = BC = 8 \sqrt{6} \)
• \( A = 45° \)
• \( B = 60° \)

Шаг 3: Выражение для длины AC

Сначала выразим сторону AC (то есть b) через сторону BC (то есть a):

\[ \frac{8 \sqrt{6}}{\sin 45°} = \frac{b}{\sin 60°} \]

Теперь подставим значения синусов:

• \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{8 \sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Шаг 4: Упрощение уравнения

Упрощаем левую часть:

\[ \frac{8 \sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 \sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 16 \sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 16 \sqrt{3} \]

Теперь имеем:

\[ 16 \sqrt{3} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Умножим обе стороны на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[ 16 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = b \]

Шаг 5: Найти b

Теперь вычисляем:

\[ b = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24 \]

Таким образом, длина стороны AC равна \( 24 \).

Ответ

Длина стороны AC составляет 24.