Чтобы найти длину стороны AC в треугольнике ABC, где угол A равен 45°, угол B равен 60° и длина стороны BC равна ( 8 \sqrt{6} ), мы можем воспользоваться теоремой синусов.
Шаг 1: Определение угла C
Сначала находим угол C. Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.
[
C = 180° - A - B = 180° - 45° - 60° = 75°
]
Теперь у нас есть все углы треугольника:
- Угол A = 45°
- Угол B = 60°
- Угол C = 75°
Шаг 2: Применение теоремы синусов
Теорема синусов гласит:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]
где:
- ( a ) – длина стороны BC (напротив угла A),
- ( b ) – длина стороны AC (напротив угла B),
- ( c ) – длина стороны AB (напротив угла C).
В нашем случае:
- ( a = BC = 8 \sqrt{6} )
- ( A = 45° )
- ( B = 60° )
Шаг 3: Выражение для длины AC
Сначала выразим сторону AC (то есть b) через сторону BC (то есть a):
[
\frac{8 \sqrt{6}}{\sin 45°} = \frac{b}{\sin 60°}
]
Теперь подставим значения синусов:
- ( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} )
- ( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} )
Подставим эти значения в уравнение:
[
\frac{8 \sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
]
Шаг 4: Упрощение уравнения
Упрощаем левую часть:
[
\frac{8 \sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 \sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 16 \sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 16 \sqrt{3}
]
Теперь имеем:
[
16 \sqrt{3} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
]
Умножим обе стороны на (\frac{\sqrt{3}}{2}):
[
16 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = b
]
Шаг 5: Найти b
Теперь вычисляем:
[
b = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24
]
Таким образом, длина стороны AC равна ( 24 ).
Ответ
Длина стороны AC составляет 24.
