решите неравенства методом интервалов (3x-4)(1-x)(2x+1) меньше 0

Решим неравенство \((3x - 4)(1 - x)(2x + 1) < 0\) методом интервалов. Начнем с поиска корней данного выражения, так как они позволят нам разделить числовую прямую на интервалы.

Шаг 1: Найти корни

Чтобы найти корни, приравняем каждую скобку к нулю:

1. \(3x - 4 = 0\) \[ 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} \]

2. \(1 - x = 0\) \[ x = 1 \]

3. \(2x + 1 = 0\) \[ 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \]

Теперь у нас есть корни: \(-\frac{1}{2}\), \(1\) и \(\frac{4}{3}\).

Шаг 2: Определить интервалы

Корни разделяют числовую прямую на несколько интервалов:

• \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \)
• \( (-\frac{1}{2}, 1) \)
• \( (1, \frac{4}{3}) \)
• \( (\frac{4}{3}, +\infty) \)

Шаг 3: Проверить знак на каждом интервале

Теперь необходимо выбрать тестовую точку из каждого интервала и проверить знак выражения \((3x - 4)(1 - x)(2x + 1)\).

1. Интервал \((- \infty, -\frac{1}{2})\):

   • Тестовая точка: \(x = -1\) \[ (3(-1) - 4)(1 - (-1))(2(-1) + 1) = (-3 - 4)(2)(-2 + 1) = (-7)(2)(-1) = 14 > 0 \] Знак положительный.

2. Интервал \((- \frac{1}{2}, 1)\):

   • Тестовая точка: \(x = 0\) \[ (3(0) - 4)(1 - 0)(2(0) + 1) = (-4)(1)(1) = -4 < 0 \] Знак отрицательный.

3. Интервал \((1, \frac{4}{3})\):

   • Тестовая точка: \(x = \frac{5}{4}\) \[ (3(\frac{5}{4}) - 4)(1 - \frac{5}{4})(2(\frac{5}{4}) + 1) = (3.75 - 4)(-\frac{1}{4})(2.5 + 1) = (-0.25)(-\frac{1}{4})(3.5) = 0.21875 > 0 \] Знак положительный.

4. Интервал \((\frac{4}{3}, +\infty)\):

   • Тестовая точка: \(x = 2\) \[ (3(2) - 4)(1 - 2)(2(2) + 1) = (6 - 4)(-1)(4 + 1) = (2)(-1)(5) = -10 < 0 \] Знак отрицательный.

Шаг 4: Обобщение результатов

Теперь мы можем обобщить результаты по интервалам:

• На интервале \((- \infty, -\frac{1}{2})\): значение положительное.
• На интервале \((- \frac{1}{2}, 1)\): значение отрицательное.
• На интервале \((1, \frac{4}{3})\): значение положительное.
• На интервале \((\frac{4}{3}, +\infty)\): значение отрицательное.

Шаг 5: Записать решение

Неравенство \((3x - 4)(1 - x)(2x + 1) < 0\) выполняется на следующих интервалах:

• \((- \frac{1}{2}, 1)\)
• \((\frac{4}{3}, +\infty)\)

Итак, окончательное решение: \[ x \in (-\frac{1}{2}, 1) \cup (\frac{4}{3}, +\infty) \]