Геометрия

Для решения задачи используем свойство подобия треугольников.

У нас есть треугольник \( \triangle ABC \), и прямая \( MN \), параллельная \( AC \), которая пересекает стороны \( AB \) и \( BC \) в точках \( M \) и \( N \) соответственно.

Шаг 1: Определение подобия

Так как прямая \( MN \) параллельна стороне \( AC \), треугольники \( \triangle AMN \) и \( \triangle ABC \) подобны по признаку параллельности.

Шаг 2: Отношение сторон

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон одинаково:

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{MN}{AC} = \frac{AN}{BC} \]

Дано:

• \( AC = 36 \)
• \( MN = 27 \)

Отношение:

\[ \frac{MN}{AC} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4} \]

Таким образом, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон:

\[ \left(\frac{MN}{AC}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \]

Шаг 3: Площадь треугольника

Площадь треугольника \( \triangle ABC \) равна 96. Теперь найдём площадь треугольника \( \triangle AMN \):

\[ \text{Площадь } \triangle AMN = \text{Площадь } \triangle ABC \times \frac{9}{16} = 96 \times \frac{9}{16} = 54 \]

Таким образом, площадь треугольника \( \triangle AMN \) равна 54.

Ответ: Площадь треугольника \( \triangle AMN \) равна 54.