Решите неравенства методом интервалов (3x-4)×(1-x)×(2x+1)<0

Решим неравенство \( (3x - 4) \times (1 - x) \times (2x + 1) < 0 \) методом интервалов. Этот метод позволяет понять, на каких промежутках значение произведения отрицательно. ### Шаг 1: Найдем корни (нулевые значения) Для начала найдем корни каждого множителя, приравняв их к нулю: 1. \( 3x - 4 = 0 \) \( 3x = 4 \) \( x = \frac{4}{3} \) 2. \( 1 - x = 0 \) \( x = 1 \) 3. \( 2x + 1 = 0 \) \( 2x = -1 \) \( x = -\frac{1}{2} \) ### Шаг 2: Определим интервалы Теперь мы имеем корни: \( x_1 = -\frac{1}{2} \), \( x_2 = 1 \), \( x_3 = \frac{4}{3} \). Эти корни разбивают числовую ось на следующие интервалы: 1. \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) 2. \( (-\frac{1}{2}, 1) \) 3. \( (1, \frac{4}{3}) \) 4. \( (\frac{4}{3}, +\infty) \) ### Шаг 3: Проверим знаки на каждом интервале Теперь давайте выберем тестовые точки в каждом из интервалов и подставим их в неравенство, чтобы определить знак произведения. 1. **Интервал \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \)**: Выбираем \( x = -1 \) \( (3(-1) - 4)(1 - (-1))(2(-1) + 1) = (-3 - 4)(2)(-2 + 1) = (-7)(2)(-1) = 14 > 0 \) 2. **Интервал \( (-\frac{1}{2}, 1) \)**: Выбираем \( x = 0 \) \( (3(0) - 4)(1 - 0)(2(0) + 1) = (-4)(1)(1) = -4 < 0 \) 3. **Интервал \( (1, \frac{4}{3}) \)**: Выбираем \( x = 1.2 \) \( (3(1.2) - 4)(1 - 1.2)(2(1.2) + 1) = (3.6 - 4)(-0.2)(2.4 + 1) = (-0.4)(-0.2)(3.4) > 0 \) 4. **Интервал \( (\frac{4}{3}, +\infty) \)**: Выбираем \( x = 2 \) \( (3(2) - 4)(1 - 2)(2(2) + 1) = (6 - 4)(-1)(4 + 1) = (2)(-1)(5) = -10 < 0 \) ### Шаг 4: Объединим результаты Теперь мы знаем, знак произведения на каждом интервале: - \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \): \( > 0 \) - \( (-\frac{1}{2}, 1) \): \( < 0 \) - \( (1, \frac{4}{3}) \): \( > 0 \) - \( (\frac{4}{3}, +\infty) \): \( < 0 \) ### Шаг 5: Запишем итоговые интервалы, где выражение отрицательно Мы ищем такие интервалы, где произведение меньше нуля: - \( (-\frac{1}{2}, 1) \) - \( (\frac{4}{3}, +\infty) \) ### Ответ Таким образом, решение неравенства \( (3x - 4) \times (1 - x) \times (2x + 1) < 0 \) будет: \[ x \in \left(-\frac{1}{2}, 1\right) \cup \left(\frac{4}{3}, +\infty\right) \] Это означает, что \( x \) может принимать значения в этих интервалах. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять задачу! Если имеются дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.