решите неравенства методом интервалов (3x-4)×(1-x)×(2x+1)<0

Решим неравенство \( (3x - 4) \times (1 - x) \times (2x + 1) < 0 \) методом интервалов. Этот метод позволяет понять, на каких промежутках значение произведения отрицательно.

Шаг 1: Найдем корни (нулевые значения)

Для начала найдем корни каждого множителя, приравняв их к нулю:

1. \( 3x - 4 = 0 \)
   \( 3x = 4 \)
   \( x = \frac{4}{3} \)

2. \( 1 - x = 0 \)
   \( x = 1 \)

3. \( 2x + 1 = 0 \)
   \( 2x = -1 \)
   \( x = -\frac{1}{2} \)

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь мы имеем корни: \( x_1 = -\frac{1}{2} \), \( x_2 = 1 \), \( x_3 = \frac{4}{3} \). Эти корни разбивают числовую ось на следующие интервалы:

1. \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \)
2. \( (-\frac{1}{2}, 1) \)
3. \( (1, \frac{4}{3}) \)
4. \( (\frac{4}{3}, +\infty) \)

Шаг 3: Проверим знаки на каждом интервале

Теперь давайте выберем тестовые точки в каждом из интервалов и подставим их в неравенство, чтобы определить знак произведения.

1. Интервал \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \):
   Выбираем \( x = -1 \)
   \( (3(-1) - 4)(1 - (-1))(2(-1) + 1) = (-3 - 4)(2)(-2 + 1) = (-7)(2)(-1) = 14 > 0 \)

2. Интервал \( (-\frac{1}{2}, 1) \):
   Выбираем \( x = 0 \)
   \( (3(0) - 4)(1 - 0)(2(0) + 1) = (-4)(1)(1) = -4 < 0 \)

3. Интервал \( (1, \frac{4}{3}) \):
   Выбираем \( x = 1.2 \)
   \( (3(1.2) - 4)(1 - 1.2)(2(1.2) + 1) = (3.6 - 4)(-0.2)(2.4 + 1) = (-0.4)(-0.2)(3.4) > 0 \)

4. Интервал \( (\frac{4}{3}, +\infty) \):
   Выбираем \( x = 2 \)
   \( (3(2) - 4)(1 - 2)(2(2) + 1) = (6 - 4)(-1)(4 + 1) = (2)(-1)(5) = -10 < 0 \)

Шаг 4: Объединим результаты

Теперь мы знаем, знак произведения на каждом интервале:

• \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \): \( > 0 \)
• \( (-\frac{1}{2}, 1) \): \( < 0 \)
• \( (1, \frac{4}{3}) \): \( > 0 \)
• \( (\frac{4}{3}, +\infty) \): \( < 0 \)

Шаг 5: Запишем итоговые интервалы, где выражение отрицательно

Мы ищем такие интервалы, где произведение меньше нуля:

• \( (-\frac{1}{2}, 1) \)
• \( (\frac{4}{3}, +\infty) \)

Ответ

Таким образом, решение неравенства \( (3x - 4) \times (1 - x) \times (2x + 1) < 0 \) будет:

\[ x \in \left(-\frac{1}{2}, 1\right) \cup \left(\frac{4}{3}, +\infty\right) \]

Это означает, что \( x \) может принимать значения в этих интервалах. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять задачу! Если имеются дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.