3. Третий член арифметической прогрессии (уn) равен 10, а седьмой равен -6. Найдите разность этой прогрессии.

Чтобы решить задачу, мы сначала вспомним, что в арифметической прогрессии каждый следующий член получается добавлением постоянного числа, называемого разностью прогрессии (обозначим её как \( d \)), к предыдущему члену.

Каждый член арифметической прогрессии можно выразить через первый член \( a \):

• Первый член: \( a \)
• Второй член: \( a + d \)
• Третий член: \( u_3 = a + 2d \)
• Четвёртый член: \( u_4 = a + 3d \)
• Пятый член: \( u_5 = a + 4d \)
• Шестой член: \( u_6 = a + 5d \)
• Седьмой член: \( u_7 = a + 6d \)

В условии задачи нам даны два члена:

1. Третий член \( u_3 = 10 \)
2. Седьмой член \( u_7 = -6 \)

Теперь мы можем записать два уравнения на основе этих данных:

1. \( a + 2d = 10 \) (уравнение 1)
2. \( a + 6d = -6 \) (уравнение 2)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.

Шаг 1: Выразим \( a \) через \( d \)

Из уравнения 1 выразим \( a \): \[ a = 10 - 2d \]

Шаг 2: Подставим выражение для \( a \) в уравнение 2

Теперь подставим полученное значение \( a \) в уравнение 2: \[ (10 - 2d) + 6d = -6 \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Соберем все данные: \[ 10 - 2d + 6d = -6 \] \[ 10 + 4d = -6 \]

Шаг 4: Изолируем \( d \)

Вычтем 10 из обеих сторон: \[ 4d = -6 - 10 \] \[ 4d = -16 \]

Теперь разделим на 4: \[ d = -4 \]

Ответ

Таким образом, разность арифметической прогрессии \( d \) равна \(-4\).

Проверка

Чтобы убедиться в правильности, можем найти значения \( a \) и проверить оба уравнения. Подставим найденное \( d \) в уравнение для \( a \): \[ a = 10 - 2(-4) = 10 + 8 = 18 \]

Теперь проверим:

• Третий член: \( u_3 = a + 2d = 18 + 2(-4) = 18 - 8 = 10 \) (всё верно)
• Седьмой член: \( u_7 = a + 6d = 18 + 6(-4) = 18 - 24 = -6 \) (всё верно)

Таким образом, разность \( d = -4 \) действительно соответствует заданным условиям.