Пусть стороны прямоугольной трапеции обозначим следующим образом: ( a ) — большая основание, ( b ) — меньшее основание, и ( c ) — равные меньшие стороны. Поскольку у нас есть две равные меньшие стороны, то они будут равны ( c ).
Согласно условию, три стороны образуют арифметическую прогрессию, и периметр трапеции равен 18 дм. Периметр трапеции можно выразить так:
[
P = a + b + 2c = 18
]
Также поскольку стороны ( a ), ( b ) и ( c ) образуют арифметическую прогрессию, мы можем записать:
[
a, c, b
]
где есть разность ( d ) между ними. Таким образом, можно записать:
[
c = b - d
]
[
a = b + d
]
Теперь подставим эти выражения в уравнение периметра:
[
(b + d) + b + 2(b - d) = 18
]
Упростим это:
[
b + d + b + 2b - 2d = 18
]
[
4b - d = 18
]
Теперь выразим ( d ):
[
d = 4b - 18
]
Подставим ( d ) обратно в выражения для ( a ) и ( c ):
- ( a = b + d = b + (4b - 18) = 5b - 18 )
- ( c = b - d = b - (4b - 18) = 18 - 3b )
Теперь запишем из уравнения ( c \geq 0 ):
[
18 - 3b \geq 0 \Rightarrow 18 \geq 3b \Rightarrow 6 \geq b
]
Также ( a \geq 0 ):
[
5b - 18 \geq 0 \Rightarrow 5b \geq 18 \Rightarrow b \geq \frac{18}{5} = 3.6
]
Таким образом, ( b ) должен находиться в пределах:
[
3.6 \leq b \leq 6
]
Теперь нужно проверить возможные значения ( b ) с тем, что ( a ), ( b ), ( c ) также должны быть целыми.
- Если ( b = 4 ):
- ( a = 5(4) - 18 = 20 - 18 = 2 )
- ( c = 18 - 3(4) = 18 - 12 = 6 )
Это дает стороны ( a = 2 ), ( b = 4 ), ( c = 6 ). Периметр: ( 2 + 4 + 2(6) = 2 + 4 + 12 = 18 ).
- Если ( b = 5 ):
- ( a = 5(5) - 18 = 25 - 18 = 7 )
- ( c = 18 - 3(5) = 18 - 15 = 3 )
Это дает стороны ( a = 7 ), ( b = 5 ), ( c = 3 ). Периметр: ( 7 + 5 + 2(3) = 7 + 5 + 6 = 18 ).
- Если ( b = 6 ):
- ( a = 5(6) - 18 = 30 - 18 = 12 )
- ( c = 18 - 3(6) = 18 - 18 = 0 ) (не подходит, c должно быть положительным)
Таким образом, подходящие значения:
- ( a = 2, b = 4, c = 6 )
- ( a = 7, b = 5, c = 3 )
Наибольшая сторона среди первой пары: 6 (сторона c), среди второй: 7 (сторона a).
Итак, наибольшая сторона трапеции — 7 дм.
