Две меньшие стороны прямоугольной трапеции равны. Три различные стороны трапеции образуют арифметическую прогрессию. Периметр трапеции равен 18 дм. Какая из сторон трапеции…
Две меньшие стороны прямоугольной трапеции равны. Три различные стороны трапеции образуют арифметическую прогрессию. Периметр трапеции равен 18 дм. Какая из сторон трапеции является наибольшей? Найди все стороны трапеции.
Пусть стороны прямоугольной трапеции обозначим следующим образом: \( a \) — большая основание, \( b \) — меньшее основание, и \( c \) — равные меньшие стороны. Поскольку у нас есть две равные меньшие стороны, то они будут равны \( c \).
Согласно условию, три стороны образуют арифметическую прогрессию, и периметр трапеции равен 18 дм. Периметр трапеции можно выразить так:
\[ P = a + b + 2c = 18 \]
Также поскольку стороны \( a \), \( b \) и \( c \) образуют арифметическую прогрессию, мы можем записать:
\[ a, c, b \]
где есть разность \( d \) между ними. Таким образом, можно записать:
\[ c = b - d \]
\[ a = b + d \]
Теперь подставим эти выражения в уравнение периметра:
\[ (b + d) + b + 2(b - d) = 18 \]
Упростим это:
\[ b + d + b + 2b - 2d = 18 \]
\[ 4b - d = 18 \]
Теперь выразим \( d \):
\[ d = 4b - 18 \]
Подставим \( d \) обратно в выражения для \( a \) и \( c \):
- \( a = b + d = b + (4b - 18) = 5b - 18 \)
- \( c = b - d = b - (4b - 18) = 18 - 3b \)
Теперь запишем из уравнения \( c \geq 0 \):
\[ 18 - 3b \geq 0 \Rightarrow 18 \geq 3b \Rightarrow 6 \geq b \]
Также \( a \geq 0 \):
\[ 5b - 18 \geq 0 \Rightarrow 5b \geq 18 \Rightarrow b \geq \frac{18}{5} = 3.6 \]
Таким образом, \( b \) должен находиться в пределах:
\[ 3.6 \leq b \leq 6 \]
Теперь нужно проверить возможные значения \( b \) с тем, что \( a \), \( b \), \( c \) также должны быть целыми.
- Если \( b = 4 \):
- \( a = 5(4) - 18 = 20 - 18 = 2 \)
- \( c = 18 - 3(4) = 18 - 12 = 6 \)
Это дает стороны \( a = 2 \), \( b = 4 \), \( c = 6 \). Периметр: \( 2 + 4 + 2(6) = 2 + 4 + 12 = 18 \).
- Если \( b = 5 \):
- \( a = 5(5) - 18 = 25 - 18 = 7 \)
- \( c = 18 - 3(5) = 18 - 15 = 3 \)
Это дает стороны \( a = 7 \), \( b = 5 \), \( c = 3 \). Периметр: \( 7 + 5 + 2(3) = 7 + 5 + 6 = 18 \).
- Если \( b = 6 \):
- \( a = 5(6) - 18 = 30 - 18 = 12 \)
- \( c = 18 - 3(6) = 18 - 18 = 0 \) (не подходит, c должно быть положительным)
Таким образом, подходящие значения:
- \( a = 2, b = 4, c = 6 \)
- \( a = 7, b = 5, c = 3 \)
Наибольшая сторона среди первой пары: 6 (сторона c), среди второй: 7 (сторона a).
Итак, наибольшая сторона трапеции — 7 дм.
