3 x 2 − 2 3 7 x + 2 7 = 0 3x 2 −2 7 3 ​ x+ 7 2 ​ =0

Для решения уравнения \(3x^2 - \frac{2}{7}x + \frac{2}{7} = 0\) мы будем использовать метод дискриминанта. Пошагово разберём, как это сделать.

Шаг 1: Определим коэффициенты

В данном уравнении коэффициенты равны:

• \(a = 3\) (коэффициент при \(x^2\))
• \(b = -\frac{2}{7}\) (коэффициент при \(x\))
• \(c = \frac{2}{7}\) (свободный член)

Шаг 2: Найдём дискриминант

Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \]

Подставим наши значения: \[ D = \left(-\frac{2}{7}\right)^2 - 4 \cdot 3 \cdot \frac{2}{7} \]

Сначала посчитаем \(b^2\): \[ D = \frac{4}{49} - 4 \cdot 3 \cdot \frac{2}{7} \] \[ D = \frac{4}{49} - \frac{24}{7} \]

Чтобы вычесть, преобразуем \(\frac{24}{7}\) в дробь с общим знаменателем 49: \[ \frac{24}{7} = \frac{24 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{168}{49} \] Теперь подставим: \[ D = \frac{4}{49} - \frac{168}{49} = \frac{4 - 168}{49} = \frac{-164}{49} \]

Шаг 3: Оценка дискриминанта

Так как \(D < 0\), это означает, что у уравнения нет действительных корней, а значит, решение уравнения состоит из комплексных чисел.

Шаг 4: Найдём корни

Корни уравнения можно найти по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Так как \(D < 0\), мы будем использовать комплексные числа: \[ \sqrt{D} = \sqrt{-\frac{164}{49}} = i\sqrt{\frac{164}{49}} = i \frac{\sqrt{164}}{7} \]

Подставляем в формулу корней: \[ x = \frac{-\left(-\frac{2}{7}\right) \pm i \frac{\sqrt{164}}{7}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{\frac{2}{7} \pm i \frac{\sqrt{164}}{7}}{6} \] Разделим каждую часть на 6: \[ x = \frac{2}{42} \pm i \frac{\sqrt{164}}{42} = \frac{1}{21} \pm i \frac{\sqrt{164}}{42} \]

Ответ

Итак, корни уравнения: \[ x_1 = \frac{1}{21} + i \frac{\sqrt{164}}{42}, \quad x_2 = \frac{1}{21} - i \frac{\sqrt{164}}{42} \]

Таким образом, у данного уравнения нет действительных корней, и его решения выражаются в виде комплексных чисел.