Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом 450 и равна 8√2 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π .
Для решения задачи начнем с понимания, что имеется в виду под "диагональ осевого сечения цилиндра". Осевое сечение цилиндра — это сечение, проведенное через ось цилиндра, которое образует прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника наклонена под углом 45 градусов к плоскости основания.
Шаг 1: Найдем параметры прямоугольника
Пусть:
- \( h \) — высота цилиндра.
- \( r \) — радиус основания цилиндра.
Так как диагональ осевого сечения равна \( 8\sqrt{2} \) см и наклонена под углом 45°, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \) и двумя радиусами \( r \) по горизонтали.
Согласно свойствам прямоугольного треугольника и углу в 45°:
\[ d = \sqrt{h^2 + (2r)^2} \]
где \( d \) — диагональ осевого сечения.
Шаг 2: Подставим известные данные
Поскольку \( d = 8\sqrt{2} \), у нас есть уравнение:
\[ 8\sqrt{2} = \sqrt{h^2 + (2r)^2} \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
\[ (8\sqrt{2})^2 = h^2 + (2r)^2 \]
\[ 128 = h^2 + 4r^2 \]
Шаг 3: Выразим площадку боковой поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности цилиндра \( S_b \) вычисляется по формуле:
\[ S_b = 2\pi rh \]
Теперь нам нужно выразить \( S_b \) через \( r \) и \( h \). Для этой цели запишем \( h \) через \( r \):
\[ h^2 = 128 - 4r^2 \]
Тогда:
\[ h = \sqrt{128 - 4r^2} \]
Шаг 4: Подставим \( h \) в формулу для площади боковой поверхности
Теперь подставим это выражение для \( h \) в формулу площади:
\[ S_b = 2\pi r \sqrt{128 - 4r^2} \]
Шаг 5: Найдем \( S_b/\pi \)
Теперь мы можем упростить:
\[ \frac{S_b}{\pi} = 2r \sqrt{128 - 4r^2} \]
Шаг 6: Найдем значения при наличии условного параметра
Так как у нас нет ограничивающих условий относительно \( r \), и используя данное уравнение, мы можем предположить значения для \( r \) и находить соответствующие значения.
К примеру, если принять \( r = 4 \) см (что удобно для вычислений):
Calculating \( h \):
\[ h^2 = 128 - 4 \cdot 4^2 = 128 - 64 = 64 \]
\[ h = 8 \]
Подсчет боковой поверхности
Теперь, подставляя обратно:
\[ \frac{S_b}{\pi} = 2 \cdot 4 \cdot 8 = 64 \]
Ответ
Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра, деленная на \( \pi \), равна \( 64 \).
