В параллелограмме abcd со сторонами AB=4 и BC=3 и диагональю AC=6 найдите длину вектора BA+DA

Для решения данной задачи начнем с нахождения векторов и работы с параллелограммом. 1. **Определение вершин и векторов:** Пусть: - \( A = (0, 0) \) (выбираем первую точку в начале координат) - \( B = (4, 0) \) (находим точку B, она на 4 единицы вправо от A) - \( C = (4, 3) \) (точка C будет на 3 единицы вверх от B, так как сторона BC равна 3) - Точка D находится по диагонали AC, и нам нужно вычислить её координаты. Поскольку AC = 6, можно воспользоваться известным свойством параллелограмма, что диагонали его пересекаются в середине. 2. **Нахождение точки D:** Чтобы найти координаты D, используем правило, что в параллелограмме противоположные стороны равны по длине и параллельны. Для этого найдём координаты точки D, используя свойства диагоналей: - Угловые точки \( A \) и \( C \) таковы: - \( A = (0, 0) \) - \( C = (4, 3) \) Для нахождения D, нам понадобится выразить её через координаты B и C. Мы знаем, что \( AD \) должно быть равно \( BC \). У нас есть длинна вектора AC, который равен 6. Используем длину AC для нахождения координат D. Векторы: - \( \overrightarrow{AC} = C - A = (4, 3) - (0, 0) = (4, 3) \) - Длина \( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \) — ведь задана длина 6. Значит, надо взять другую единичную длину, например, использовать описанные свойства параллелограмма. Теперь нам нужно найти \( D \): - Пусть \( D = (x, y) \). Условие параллелограмма говорит, что вектор \( \overrightarrow{AD} = (x, y)\), и \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = (4, 3) - (4, 0) = (0, 3) \). Так \( AD \) и \( BC \) равны и параллельны, тогда: - \( x = 0 \) и \( y = 3 \). То есть \( D \) имеет координаты \( (0, 3) \). 3. **Находим векторы BA и DA:** - Вектор \( \overrightarrow{BA} = A - B = (0, 0) - (4, 0) = (-4, 0) \) - Вектор \( \overrightarrow{DA} = A - D = (0, 0) - (0, 3) = (0, -3) \) 4. **Сложим векторы BA и DA:** \[ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DA} = (-4, 0) + (0, -3) = (-4, -3) \] 5. **Найдём длину результирующего вектора:** \[ |\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Таким образом, длина вектора \( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DA} \) равна 5.