Два игрока, петя и ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добағ з одну из куч (по своему выбору) од… камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче - пятнадцать камней. Какое суммарное количество камней в двух кучах может оказаться после первого хода Вани, если Петя сделал ход +1, добавив камни в одну из куч?

Для решения задачи разберем ход игры и возможные позиции после первого хода Вани. 1. **Начальная позиция**: Находимся в положении (7, 15), где 7 — количество камней в первой куче, а 15 — во второй. 2. **Первый ход Пети**: Петя может выбрать, в какую кучу добавить один камень (+1) или удвоить количество камней в одной из куч. Рассмотрим оба варианта для хода Пети: - **Ход 1**: Петя добавляет один камень в первую кучу (7 + 1 = 8). - Новая позиция: (8, 15) - **Ход 2**: Петя добавляет один камень во вторую кучу (15 + 1 = 16). - Новая позиция: (7, 16) - **Ход 3**: Петя удваивает количество камней в первой куче (7 * 2 = 14). - Новая позиция: (14, 15) - **Ход 4**: Петя удваивает количество камней во второй куче (15 * 2 = 30). - Новая позиция: (7, 30) Теперь у нас есть 4 возможные позиции после первого хода Пети: 1. (8, 15) 2. (7, 16) 3. (14, 15) 4. (7, 30) 3. **Второй ход Вани**: Ване предстоит сделать ход из одной из этих позиций. Он также может добавить один камень к одной из куч или удвоить количество камней в одной из куч. Рассмотрим все возможные ходы для каждой из позиций: - **Из позиции (8, 15)**: - (9, 15) — добавляя в первую кучу (+1). - (8, 16) — добавляя во вторую кучу (+1). - (16, 15) — удваивая первую кучу (8 * 2). - (8, 30) — удваивая вторую кучу (15 * 2). Получаем положения: (9, 15), (8, 16), (16, 15), (8, 30). - **Из позиции (7, 16)**: - (8, 16) — добавляя в первую кучу (+1). - (7, 17) — добавляя во вторую кучу (+1). - (14, 16) — удваивая первую кучу (7 * 2). - (7, 32) — удваивая вторую кучу (16 * 2). Получаем положения: (8, 16), (7, 17), (14, 16), (7, 32). - **Из позиции (14, 15)**: - (15, 15) — добавляя в первую кучу (+1). - (14, 16) — добавляя во вторую кучу (+1). - (28, 15) — удваивая первую кучу (14 * 2). - (14, 30) — удваивая вторую кучу (15 * 2). Получаем положения: (15, 15), (14, 16), (28, 15), (14, 30). - **Из позиции (7, 30)**: - (8, 30) — добавляя в первую кучу (+1). - (7, 31) — добавляя во вторую кучу (+1). - (14, 30) — удваивая первую кучу (7 * 2). - (7, 60) — удваивая вторую кучу (30 * 2). Получаем положения: (8, 30), (7, 31), (14, 30), (7, 60). Теперь перечислим все возможные суммарные позиции после второго хода Вани: 1. **Из (8, 15)**: - Сумма (9, 15) = 24 - Сумма (8, 16) = 24 - Сумма (16, 15) = 31 - Сумма (8, 30) = 38 2. **Из (7, 16)**: - Сумма (8, 16) = 24 - Сумма (7, 17) = 24 - Сумма (14, 16) = 30 - Сумма (7, 32) = 39 3. **Из (14, 15)**: - Сумма (15, 15) = 30 - Сумма (14, 16) = 30 - Сумма (28, 15) = 43 - Сумма (14, 30) = 44 4. **Из (7, 30)**: - Сумма (8, 30) = 38 - Сумма (7, 31) = 38 - Сумма (14, 30) = 44 - Сумма (7, 60) = 67 Таким образом, все возможные суммарные значения камней после второго хода составляют: 24, 31, 38, 39, 30, 43, 44, 67. **Ответ:** Суммарное количество камней в двух кучах после первого хода Вани может составить 24, 30, 31, 38, 39, 43, 44, 67.