По данной производной определите исходную функцию, если f'(x) = 4-sin(x)

Для того чтобы найти исходную функцию \( f(x) \) по заданной производной \( f'(x) = 4 - \sin(x) \), мы используем процесс интегрирования. Давайте подробно рассмотрим, как это сделать.

Шаг 1: Запись уравнения

Мы знаем: \[ f'(x) = 4 - \sin(x) \]

Шаг 2: Интегрирование

Чтобы найти \( f(x) \), нам нужно проинтегрировать \( f'(x) \): \[ f(x) = \int (4 - \sin(x)) \, dx \]

Шаг 3: Интеграция каждого слагаемого

Разделим интеграл на два отдельных: \[ f(x) = \int 4 \, dx - \int \sin(x) \, dx \]

Интегрируем первое слагаемое:

\[ \int 4 \, dx = 4x \]

Интегрируем второе слагаемое:

\[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) \] (потому что производная \( -\cos(x) \) равна \( \sin(x) \)).

Теперь подставим полученные результаты: \[ f(x) = 4x - (-\cos(x)) + C \]

Шаг 4: Упрощение

Упрощаем выражение: \[ f(x) = 4x + \cos(x) + C \] где \( C \) — константа интегрирования, которая может быть найдена, если известны начальные условия.

Заключение

Исходная функция \( f(x) \), которую мы искали, выглядит так: \[ f(x) = 4x + \cos(x) + C \]

Так как \( C \) не задано, мы оставляем его как общую константу. Если у вас есть конкретные начальные условия, вы сможете определить \( C \).