Вычислите десятый член арифметической прогрессии, если известно, что a2*a4 = -3 и a5 - a3 = -4 и a3<0

Для решения данной задачи, давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a_1 \), а разность прогрессии — как \( d \).

Формула для любого \( n \)-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Теперь запишем члены, которые нас интересуют:

1. \( a_2 = a_1 + d \)
2. \( a_4 = a_1 + 3d \)
3. \( a_3 = a_1 + 2d \)
4. \( a_5 = a_1 + 4d \)

Мы знаем, что \( a_2 \cdot a_4 = -3 \), что можно записать как:

\[ (a_1 + d)(a_1 + 3d) = -3 \]

Раскроем скобки:

\[ a_1^2 + 3a_1d + a_1d + 3d^2 = -3 \] \[ a_1^2 + 4a_1d + 3d^2 = -3 \quad (1) \]

Также, по данным условиям, \( a_5 - a_3 = -4 \):

\[ (a_1 + 4d) - (a_1 + 2d) = -4 \] \[ 4d - 2d = -4 \] \[ 2d = -4 \quad \Rightarrow \quad d = -2 \quad (2) \]

Теперь подставим значение \( d = -2 \) в уравнение (1):

\[ a_1^2 + 4a_1(-2) + 3(-2)^2 = -3 \] \[ a_1^2 - 8a_1 + 3 \cdot 4 = -3 \] \[ a_1^2 - 8a_1 + 12 = -3 \] \[ a_1^2 - 8a_1 + 15 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение:

\[ a_1^2 - 8a_1 + 15 = 0 \]

Для этого используем формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \]

Корни уравнения определяются по формуле:

\[ a_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 2}{2} \]

Находим два значения:

1. \( a_1 = \frac{10}{2} = 5 \)
2. \( a_1 = \frac{6}{2} = 3 \)

Теперь рассмотрим оба случая с учетом условия \( a_3 < 0 \):

Для \( a_1 = 5 \):

\[ a_3 = a_1 + 2d = 5 + 2(-2) = 5 - 4 = 1 \quad (не подходит) \]

Для \( a_1 = 3 \):

\[ a_3 = a_1 + 2d = 3 + 2(-2) = 3 - 4 = -1 \quad (подходит) \]

Итак, мы нашли:

\[ a_1 = 3, \quad d = -2 \]

Теперь находим десятый член \( a_{10} \):

\[ a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 9(-2) = 3 - 18 = -15 \]

Итак, десятый член арифметической прогрессии равен:

\[ \boxed{-15} \]