Для решения данной задачи, давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как ( a_1 ), а разность прогрессии — как ( d ).
Формула для любого ( n )-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
[
a_n = a_1 + (n-1)d
]
Теперь запишем члены, которые нас интересуют:
- ( a_2 = a_1 + d )
- ( a_4 = a_1 + 3d )
- ( a_3 = a_1 + 2d )
- ( a_5 = a_1 + 4d )
Мы знаем, что ( a_2 \cdot a_4 = -3 ), что можно записать как:
[
(a_1 + d)(a_1 + 3d) = -3
]
Раскроем скобки:
[
a_1^2 + 3a_1d + a_1d + 3d^2 = -3
]
[
a_1^2 + 4a_1d + 3d^2 = -3 \quad (1)
]
Также, по данным условиям, ( a_5 - a_3 = -4 ):
[
(a_1 + 4d) - (a_1 + 2d) = -4
]
[
4d - 2d = -4
]
[
2d = -4 \quad \Rightarrow \quad d = -2 \quad (2)
]
Теперь подставим значение ( d = -2 ) в уравнение (1):
[
a_1^2 + 4a_1(-2) + 3(-2)^2 = -3
]
[
a_1^2 - 8a_1 + 3 \cdot 4 = -3
]
[
a_1^2 - 8a_1 + 12 = -3
]
[
a_1^2 - 8a_1 + 15 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение:
[
a_1^2 - 8a_1 + 15 = 0
]
Для этого используем формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4
]
Корни уравнения определяются по формуле:
[
a_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 2}{2}
]
Находим два значения:
- ( a_1 = \frac{10}{2} = 5 )
- ( a_1 = \frac{6}{2} = 3 )
Теперь рассмотрим оба случая с учетом условия ( a_3 < 0 ):
Для ( a_1 = 5 ):
[
a_3 = a_1 + 2d = 5 + 2(-2) = 5 - 4 = 1 \quad (не подходит)
]
Для ( a_1 = 3 ):
[
a_3 = a_1 + 2d = 3 + 2(-2) = 3 - 4 = -1 \quad (подходит)
]
Итак, мы нашли:
[
a_1 = 3, \quad d = -2
]
Теперь находим десятый член ( a_{10} ):
[
a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 9(-2) = 3 - 18 = -15
]
Итак, десятый член арифметической прогрессии равен:
[
\boxed{-15}
]
