На стороне ВС прямоугольника ABCD отметили точку S, а на луче DA - точку Р (см. рисунок). Прямые PS и DC пересекаются в точке F. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если АР = SC…

Для решения задачи, начнем с анализа данных.

1. Данные:

   • \( AR = SC = 2 \)
   • \( BS = CF = 7 \)

2. Обозначения:

   • Пусть \( AB = DC = a \) (длина прямоугольника)
   • Пусть \( AD = BC = b \) (ширина прямоугольника)

3. Расположение точек:

   • Точка \( A \) расположена в левом нижнем углу, точки \( B \), \( C \), и \( D \) последовательно уже будут заданы по координатам:
   • \( A(0, 0) \)
   • \( B(a, 0) \)
   • \( C(a, b) \)
   • \( D(0, b) \)
   • Точка \( S \) находится на стороне \( BC \), значит, \( S(a, y_S) \), где \( y_S \) - координата по оси \( y \).
   • Точка \( P \) находится на луче \( DA \), поэтому её координаты будут \( P(0, y_P) \), где \( y_P \) - координата по оси \( y \).

4. Значения координат точек:

   • Учитывая, что \( SC = 2 \), это значит, что координата \( y_S \) равна \( b - 2 \), т.е. \( S(a, b - 2) \).
   • Учитывая, что \( AR = 2 \), то точка \( P \) находится на расстоянии \( 2 \) от точки \( A \), что делает координату \( P(0, 2) \).
   • Значит, удаление точки \( B \) от точки \( S \) будет равно \( BS = 7 \). Это значит, что \( S \) расположена на \( y_S = 0 + 7 = 7\).

Теперь можем описать некоторые уравнения:

5. Находим \( b \):
   • У нас \( S(a, b - 2) \) (координаты \( S \)) и \( P(0, 2) \).
   • Так как \( BS = CF = 7 \), то \( FC \) точно также будет равно \( 7 \) так как предлагаемый прямоугольник.

Заметим, что во всех случаях:

\[ b - 2 + 7 = b \implies b = 7 + 2 = 9 \]

6. Находим \( a \):
   • Теперь нам нужно найти \( a \) учитывая, что \( S(a, b - 2) = S(a, 7) \).

\[ a + 7 = 9 \implies a = 9 - 7 = 2 \]

7. Периметр:
   • Периметр прямоугольника \( ABCD \) рассчитывается по формуле:

\[ P = 2(a + b) = 2(2 + 9) = 2(11) = 22 \]

Таким образом, периметр прямоугольника ABCD равен 22.