Найти все первообразные f(x)=cos(x/2+1)

Чтобы найти все первообразные функции \( f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} + 1\right) \), необходимо выполнить интегрирование. Мы воспользуемся методом замены переменной. Пусть: \[ u = \frac{x}{2} + 1 \] Тогда производная \( u \) по \( x \) равна: \[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad dx = 2 \, du \] Теперь перепишем интеграл: \[ \int f(x) \, dx = \int \cos\left(\frac{x}{2} + 1\right) \, dx = \int \cos(u) \cdot 2 \, du = 2 \int \cos(u) \, du \] Интеграл от \(\cos(u)\) равен \(\sin(u)\): \[ 2 \int \cos(u) \, du = 2 \sin(u) + C \] Теперь, подставив обратно \( u = \frac{x}{2} + 1 \): \[ 2 \sin\left(\frac{x}{2} + 1\right) + C \] Таким образом, все первообразные функции \( f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} + 1\right) \) имеют вид: \[ F(x) = 2 \sin\left(\frac{x}{2} + 1\right) + C \] где \( C \) – произвольная константа.