Найти все первообразные f(x)=cos(x/2+1)

Чтобы найти все первообразные функции \( f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} + 1\right) \), необходимо выполнить интегрирование.

Мы воспользуемся методом замены переменной. Пусть:

\[ u = \frac{x}{2} + 1 \]

Тогда производная \( u \) по \( x \) равна:

\[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad dx = 2 \, du \]

Теперь перепишем интеграл:

\[ \int f(x) \, dx = \int \cos\left(\frac{x}{2} + 1\right) \, dx = \int \cos(u) \cdot 2 \, du = 2 \int \cos(u) \, du \]

Интеграл от \(\cos(u)\) равен \(\sin(u)\):

\[ 2 \int \cos(u) \, du = 2 \sin(u) + C \]

Теперь, подставив обратно \( u = \frac{x}{2} + 1 \):

\[ 2 \sin\left(\frac{x}{2} + 1\right) + C \]

Таким образом, все первообразные функции \( f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} + 1\right) \) имеют вид:

\[ F(x) = 2 \sin\left(\frac{x}{2} + 1\right) + C \]

где \( C \) – произвольная константа.