реши уравнение методом интервалов (х+7)^9×(х+8)×(х-4)^6<=0

Для решения неравенства \((x+7)^9 \cdot (x+8) \cdot (x-4)^6 \leq 0\) методом интервалов, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найти нули функции

Сначала определим, где выражение равно нулю. Мы ищем значения \(x\), при которых:

\[ (x+7)^9 \cdot (x+8) \cdot (x-4)^6 = 0 \]

Это произойдет, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\)
2. \(x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8\)
3. \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)

Нули функции: \(-8\), \(-7\), \(4\).

Шаг 2: Определить знаки на интервалах

Теперь мы разбиваем числовую ось на интервалы, используя найденные нули:

• \((- \infty, -8)\)
• \((-8, -7)\)
• \((-7, 4)\)
• \((4, +\infty)\)

Теперь нам нужно определить знак функции на каждом из этих интервалов.

Шаг 3: Выбор тестовых точек

Интервал 1: \((- \infty, -8)\)
Выберем тестовую точку \(x = -9\): \[ (-9 + 7)^9 \cdot (-9 + 8) \cdot (-9 - 4)^6 = (-2)^9 \cdot (-1) \cdot (-13)^6. \] Этот результат будет положительным, так как оба отрицательных числа в нечетной степени и четной степени (первое с нечетной и второе с четной) дадут положительный результат.

Интервал 2: \((-8, -7)\)
Тестовая точка \(x = -7.5\): \[ (-7.5 + 7)^9 \cdot (-7.5 + 8) \cdot (-7.5 - 4)^6 = (-0.5)^9 \cdot (0.5) \cdot (-11.5)^6. \] Выражение будет отрицательным, так как первый множитель отрицателен, а остальные положительны.

Интервал 3: \((-7, 4)\)
Тестовая точка \(x = 0\): \[ (0 + 7)^9 \cdot (0 + 8) \cdot (0 - 4)^6 = (7)^9 \cdot (8) \cdot (-4)^6. \] Здесь всё будет положительно.

Интервал 4: \((4, +\infty)\)
Тестовая точка \(x = 5\): \[ (5 + 7)^9 \cdot (5 + 8) \cdot (5 - 4)^6 = (12)^9 \cdot (13) \cdot (1)^6. \] Эта точка также даст положительное значение.

Шаг 4: Итоговые знаки

Таким образом, знаки на интервалах:

1. \((- \infty, -8)\) — положительно
2. \((-8, -7)\) — отрицательно
3. \((-7, 4)\) — положительно
4. \((4, +\infty)\) — положительно

Шаг 5: Учитываем нули и строим неравенство

Теперь учитываем, что нам нужно решить неравенство \((x+7)^9 \cdot (x+8) \cdot (x-4)^6 \leq 0\).

• На интервале \((-8, -7)\) функция отрицательна.
• На \(-8\) функция равна нулю.
• На \(-7\) функция равна нулю.
• На \((4, +\infty)\) функция положительна.

Шаг 6: Запись ответа

С учетом вышеизложенного, решение неравенства:

\[ x \in [-8, -7] \]

Таким образом, все значения \(x\) из интервала \([-8, -7]\) удовлетворяют неравенству \((x+7)^9 \cdot (x+8) \cdot (x-4)^6 \leq 0\).