Вопрос от Саша ㅤ 17 марта 2025 16:31

Question 1

Реши уравнение методом интервалов (х+7)^9×(х+8)×(х-4)^6<=0

Answer

Для решения неравенства ((x+7)^9 \cdot (x+8) \cdot (x-4)^6 \leq 0) методом интервалов, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найти нули функции

Сначала определим, где выражение равно нулю. Мы ищем значения (x), при которых:

[ (x+7)^9 \cdot (x+8) \cdot (x-4)^6 = 0 ]

Это произойдет, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7)
(x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8)
(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4)

Нули функции: (-8), (-7), (4).

Шаг 2: Определить знаки на интервалах

Теперь мы разбиваем числовую ось на интервалы, используя найденные нули:

((- \infty, -8))
((-8, -7))
((-7, 4))
((4, +\infty))

Теперь нам нужно определить знак функции на каждом из этих интервалов.

Шаг 3: Выбор тестовых точек

Интервал 1: ((- \infty, -8))
Выберем тестовую точку (x = -9): [ (-9 + 7)^9 \cdot (-9 + 8) \cdot (-9 - 4)^6 = (-2)^9 \cdot (-1) \cdot (-13)^6. ] Этот результат будет положительным, так как оба отрицательных числа в нечетной степени и четной степени (первое с нечетной и второе с четной) дадут положительный результат.

Интервал 2: ((-8, -7))
Тестовая точка (x = -7.5): [ (-7.5 + 7)^9 \cdot (-7.5 + 8) \cdot (-7.5 - 4)^6 = (-0.5)^9 \cdot (0.5) \cdot (-11.5)^6. ] Выражение будет отрицательным, так как первый множитель отрицателен, а остальные положительны.

Интервал 3: ((-7, 4))
Тестовая точка (x = 0): [ (0 + 7)^9 \cdot (0 + 8) \cdot (0 - 4)^6 = (7)^9 \cdot (8) \cdot (-4)^6. ] Здесь всё будет положительно.

Интервал 4: ((4, +\infty))
Тестовая точка (x = 5): [ (5 + 7)^9 \cdot (5 + 8) \cdot (5 - 4)^6 = (12)^9 \cdot (13) \cdot (1)^6. ] Эта точка также даст положительное значение.

Шаг 4: Итоговые знаки

Таким образом, знаки на интервалах:

((- \infty, -8)) — положительно
((-8, -7)) — отрицательно
((-7, 4)) — положительно
((4, +\infty)) — положительно

Шаг 5: Учитываем нули и строим неравенство

Теперь учитываем, что нам нужно решить неравенство ((x+7)^9 \cdot (x+8) \cdot (x-4)^6 \leq 0).

На интервале ((-8, -7)) функция отрицательна.
На (-8) функция равна нулю.
На (-7) функция равна нулю.
На ((4, +\infty)) функция положительна.

Шаг 6: Запись ответа

С учетом вышеизложенного, решение неравенства:

[ x \in [-8, -7] ]

Таким образом, все значения (x) из интервала ([-8, -7]) удовлетворяют неравенству ((x+7)^9 \cdot (x+8) \cdot (x-4)^6 \leq 0).

Question 2

реши уравнение методом интервалов (х+7)^9×(х+8)×(х-4)^6<=0

Answer

Для решения неравенства \((x+7)^9 \cdot (x+8) \cdot (x-4)^6 \leq 0\) методом интервалов, следуем следующим шагам: ### Шаг 1: Найти нули функции Сначала определим, где выражение равно нулю. Мы ищем значения \(x\), при которых: \[ (x+7)^9 \cdot (x+8) \cdot (x-4)^6 = 0 \] Это произойдет, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1. \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\) 2. \(x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8\) 3. \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\) Нули функции: \(-8\), \(-7\), \(4\). ### Шаг 2: Определить знаки на интервалах Теперь мы разбиваем числовую ось на интервалы, используя найденные нули: - \((- \infty, -8)\) - \((-8, -7)\) - \((-7, 4)\) - \((4, +\infty)\) Теперь нам нужно определить знак функции на каждом из этих интервалов. ### Шаг 3: Выбор тестовых точек **Интервал 1: \((- \infty, -8)\)** Выберем тестовую точку \(x = -9\): \[ (-9 + 7)^9 \cdot (-9 + 8) \cdot (-9 - 4)^6 = (-2)^9 \cdot (-1) \cdot (-13)^6. \] Этот результат будет положительным, так как оба отрицательных числа в нечетной степени и четной степени (первое с нечетной и второе с четной) дадут положительный результат. **Интервал 2: \((-8, -7)\)** Тестовая точка \(x = -7.5\): \[ (-7.5 + 7)^9 \cdot (-7.5 + 8) \cdot (-7.5 - 4)^6 = (-0.5)^9 \cdot (0.5) \cdot (-11.5)^6. \] Выражение будет отрицательным, так как первый множитель отрицателен, а остальные положительны. **Интервал 3: \((-7, 4)\)** Тестовая точка \(x = 0\): \[ (0 + 7)^9 \cdot (0 + 8) \cdot (0 - 4)^6 = (7)^9 \cdot (8) \cdot (-4)^6. \] Здесь всё будет положительно. **Интервал 4: \((4, +\infty)\)** Тестовая точка \(x = 5\): \[ (5 + 7)^9 \cdot (5 + 8) \cdot (5 - 4)^6 = (12)^9 \cdot (13) \cdot (1)^6. \] Эта точка также даст положительное значение. ### Шаг 4: Итоговые знаки Таким образом, знаки на интервалах: 1. \((- \infty, -8)\) — положительно 2. \((-8, -7)\) — отрицательно 3. \((-7, 4)\) — положительно 4. \((4, +\infty)\) — положительно ### Шаг 5: Учитываем нули и строим неравенство Теперь учитываем, что нам нужно решить неравенство \((x+7)^9 \cdot (x+8) \cdot (x-4)^6 \leq 0\). - На интервале \((-8, -7)\) функция отрицательна. - На \(-8\) функция равна нулю. - На \(-7\) функция равна нулю. - На \((4, +\infty)\) функция положительна. ### Шаг 6: Запись ответа С учетом вышеизложенного, решение неравенства: \[ x \in [-8, -7] \] Таким образом, все значения \(x\) из интервала \([-8, -7]\) удовлетворяют неравенству \((x+7)^9 \cdot (x+8) \cdot (x-4)^6 \leq 0\).