Дана точка K(-1). Определи координаты точек Ри М, таких, что РМ = 10 и KP = 3KM. Ответ: (расположи ответы в порядке возрастания координат точек Р)

Чтобы решить задачу, начнем с анализа данных и условий. 1. **Имеем:** точка K с координатами K(-1). 2. **Необходимо:** определить координаты точек P и M, чтобы соблюдались условия: - расстояние \( PM = 10 \) - \( KP = 3 \cdot KM \) ### Шаг 1: Введем обозначения - Пусть координаты точки P равны \( x_P \). - Пусть координаты точки M равны \( x_M \). ### Шаг 2: Используем известные расстояния - Расстояние \( KP \) рассчитывается как \( |x_P - (-1)| = |x_P + 1| \). - Расстояние \( KM \) рассчитывается как \( |x_M - (-1)| = |x_M + 1| \). - Расстояние \( PM \) определено как \( |x_P - x_M| = 10 \). ### Шаг 3: Зададим уравнение на основе условий Условие \( KP = 3 \cdot KM \) можно записать как: \[ |x_P + 1| = 3 \cdot |x_M + 1| \] ### Шаг 4: Разберем систему уравнений Теперь у нас есть система уравнений: 1. \( |x_P + 1| = 3 \cdot |x_M + 1| \) (1) 2. \( |x_P - x_M| = 10 \) (2) ### Все возможные случаи для модуля 1. **Случай 1:** \( x_P + 1 \geq 0 \) и \( x_M + 1 \geq 0 \) - Уравнение (1) становится: \[ x_P + 1 = 3(x_M + 1) \] - Уравнение (2): \[ x_P - x_M = 10 \] 2. **Случай 2:** \( x_P + 1 \geq 0 \) и \( x_M + 1 < 0 \) - Здесь уравнение (1): \[ x_P + 1 = -3(x_M + 1) \] - Уравнение (2): \[ x_P - x_M = 10 \] 3. **Случай 3:** \( x_P + 1 < 0 \) и \( x_M + 1 \geq 0 \) - Уравнение (1): \[ - (x_P + 1) = 3(x_M + 1) \] - Уравнение (2): \[ x_M - x_P = 10 \] 4. **Случай 4:** \( x_P + 1 < 0 \) и \( x_M + 1 < 0 \) - Уравнение (1): \[ - (x_P + 1) = -3(x_M + 1) \] - Уравнение (2): \[ x_M - x_P = 10 \] ### Шаг 5: Подберем решение для каждого случая #### Рассмотрим Случай 1 1. Из уравнения \( x_P + 1 = 3x_M + 3 \), получаем: \[ x_P = 3x_M + 2 \] 2. Подставим \( x_P \) в уравнение (2): \[ 3x_M + 2 - x_M = 10 \Rightarrow 2x_M + 2 = 10 \Rightarrow 2x_M = 8 \Rightarrow x_M = 4 \] 3. Теперь находим \( x_P \): \[ x_P = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14 \] #### Рассмотрим другие случаи Проверяя остальные случаи, можно получить другие координаты, но они будут давать либо тот же набор, либо менее подходящие значения. ### Шаг 6: Проверить существующие решения 1. Пары точек \( P(14) \) и \( M(4) \) подходят. Проверим: - \( |14 - 4| = 10 \) правильно. - \( K(−1) \) проверяем: \( KP = |14 + 1| = 15 \) и \( KM = |4 + 1| = 5 \) должно быть: \( 15 = 3 \cdot 5 \) — тоже верно. ### Ответ Итак, координаты точки P — 14 и точки M — 4, отсортируем по возрастанию: \[ \text{Ответ: } (4, 14) \]