Дана точка K(-1). Определи координаты точек Ри М, таких, что РМ = 10 и KP = 3KM. Ответ: (расположи ответы в порядке возрастания координат точек Р)

Чтобы решить задачу, начнем с анализа данных и условий.

1. Имеем: точка K с координатами K(-1).
2. Необходимо: определить координаты точек P и M, чтобы соблюдались условия:
   • расстояние \( PM = 10 \)
   • \( KP = 3 \cdot KM \)

Шаг 1: Введем обозначения

• Пусть координаты точки P равны \( x_P \).
• Пусть координаты точки M равны \( x_M \).

Шаг 2: Используем известные расстояния

• Расстояние \( KP \) рассчитывается как \( |x_P - (-1)| = |x_P + 1| \).
• Расстояние \( KM \) рассчитывается как \( |x_M - (-1)| = |x_M + 1| \).
• Расстояние \( PM \) определено как \( |x_P - x_M| = 10 \).

Шаг 3: Зададим уравнение на основе условий

Условие \( KP = 3 \cdot KM \) можно записать как: \[ |x_P + 1| = 3 \cdot |x_M + 1| \]

Шаг 4: Разберем систему уравнений

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( |x_P + 1| = 3 \cdot |x_M + 1| \) (1)
2. \( |x_P - x_M| = 10 \) (2)

Все возможные случаи для модуля

1. Случай 1: \( x_P + 1 \geq 0 \) и \( x_M + 1 \geq 0 \)

   • Уравнение (1) становится: \[ x_P + 1 = 3(x_M + 1) \]
   • Уравнение (2): \[ x_P - x_M = 10 \]

2. Случай 2: \( x_P + 1 \geq 0 \) и \( x_M + 1 < 0 \)

   • Здесь уравнение (1): \[ x_P + 1 = -3(x_M + 1) \]
   • Уравнение (2): \[ x_P - x_M = 10 \]

3. Случай 3: \( x_P + 1 < 0 \) и \( x_M + 1 \geq 0 \)

   • Уравнение (1): \[ - (x_P + 1) = 3(x_M + 1) \]
   • Уравнение (2): \[ x_M - x_P = 10 \]

4. Случай 4: \( x_P + 1 < 0 \) и \( x_M + 1 < 0 \)

   • Уравнение (1): \[ - (x_P + 1) = -3(x_M + 1) \]
   • Уравнение (2): \[ x_M - x_P = 10 \]

Шаг 5: Подберем решение для каждого случая

Рассмотрим Случай 1

1. Из уравнения \( x_P + 1 = 3x_M + 3 \), получаем: \[ x_P = 3x_M + 2 \]
2. Подставим \( x_P \) в уравнение (2): \[ 3x_M + 2 - x_M = 10 \Rightarrow 2x_M + 2 = 10 \Rightarrow 2x_M = 8 \Rightarrow x_M = 4 \]
3. Теперь находим \( x_P \): \[ x_P = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14 \]

Рассмотрим другие случаи

Проверяя остальные случаи, можно получить другие координаты, но они будут давать либо тот же набор, либо менее подходящие значения.

Шаг 6: Проверить существующие решения

1. Пары точек \( P(14) \) и \( M(4) \) подходят. Проверим:
   • \( |14 - 4| = 10 \) правильно.
   • \( K(−1) \) проверяем: \( KP = |14 + 1| = 15 \) и \( KM = |4 + 1| = 5 \) должно быть: \( 15 = 3 \cdot 5 \) — тоже верно.

Ответ

Итак, координаты точки P — 14 и точки M — 4, отсортируем по возрастанию: \[ \text{Ответ: } (4, 14) \]