. Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми? б) найдите вероятность…

Чтобы решить задачу, давайте сначала разберем основные понятия, связанные с вероятностью событий.

Понятия:

1. События: В данной задаче у нас есть два события:

   • \( A \): «в первый раз выпал орёл» (это значит, что в первом броске выпал орёл).
   • \( B \): «решка выпала дважды» (это значит, что из трёх бросков два раза выпала решка).

2. Независимость событий: Два события \( A \) и \( B \) называются независимыми, если вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей каждого из событий: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

3. Объединение событий: Вероятность объединения двух событий \( A \) и \( B \) обозначается как \( P(A \cup B) \) и рассчитывается по формуле: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Теперь давайте посчитаем вероятности каждого из событий и их сочетания.

Шаг 1: Найдем вероятность события \( A \)

Событие \( A \) означает, что в первом броске выпал орёл. Вероятность этого: \[ P(A) = \frac{1}{2} \]

Шаг 2: Найдем вероятность события \( B \)

Событие \( B \) означает, что решка выпала дважды в трёх бросках. Чтобы найти эту вероятность, нам нужно посчитать количество благоприятных исходов для события \( B \).

Общее число исходов при трех бросках монеты: \( 2^3 = 8 \).

Теперь найдем количество способов, которыми могут выпасть две решки и один орёл:

• Решки могут быть в следующих комбинациях:
  1. РРO
  2. РОР
  3. OРР

То есть, благоприятных исходов – 3.

Вероятность события \( B \): \[ P(B) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{3}{8} \]

Шаг 3: Найдем вероятность совместного наступления событий \( A \) и \( B \)

Теперь нужно выяснить, как события \( A \) (первая монета – орёл) и \( B \) (решка дважды) могут произойти одновременно.

Если в первом броске выпал орёл (событие \( A \)), нам нужно, чтобы два из оставшихся двух бросков (второй и третий) выпали решками:

• Возможные исходы: OРР (это один из них).

Здесь, поскольку в первом броске уже выпал орёл, то из двух оставшихся бросков оба должны быть решками, что является единственным благоприятным исходом.

Вероятность совместного наступления событий \( A \) и \( B \): \[ P(A \cap B) = P(\text{в первом броске – орёл}) \times P(\text{в двух оставшихся – две решки}) = P(A) \times P(B | A) \] Где \( P(B | A) = \frac{1}{2} \) (для двух последних бросков, чтобы получить две решки). Тогда \( P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

Теперь подставим в формулу проверки независимости: \[ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \] Сравниваем с \( P(A \cap B) = \frac{1}{4} = \frac{4}{16} \).

Шаг 4: Определим независимость событий

Так как \( P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) \), события \( A \) и \( B \) независимыми не являются.

Шаг 5: Найдем вероятность объединения событий \( A \) и \( B \)

Теперь подставляем в формулу для объединения: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Подставляем значения: \[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{4} \] Сначала приведём все дроби к общему знаменателю (например, к 8): \[ \frac{1}{2} = \frac{4}{8}, \quad \text{и} \quad \frac{1}{4} = \frac{2}{8} \] Теперь подставим: \[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} \]

Ответы

а) События независимыми не являются.
б) Вероятность объединения этих событий \( P(A \cup B) = \frac{5}{8} \).