f(x)=3x²-5x
Давайте разберёмся с функцией \( f(x) = 3x^2 - 5x \) и рассмотрим, как её можно проанализировать и понять.
Шаг 1: Понимание функции
Функция, которую мы имеем, является квадратной (или полиномиальной) функцией, поскольку её наивысшая степень равна 2. Она имеет вид:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
где:
- \( a = 3 \) (коэффициент при \( x^2 \)),
- \( b = -5 \) (коэффициент при \( x \)),
- \( c = 0 \) (свободный член).
Шаг 2: Определение свойств функции
- Нахождение корней функции
Для нахождения корней (т.е. точки, где функция пересекает ось \( x \)), мы можем использовать формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставляем значения \( a \), \( b \) и \( c \):
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 0 = 25 - 0 = 25 \]
Поскольку \( D > 0 \), функция имеет два различных корня. Теперь найдем их с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_1, x_2 = \frac{-(-5) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 5}{6} \]
Вычислим корни:
- \( x_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \)
- \( x_2 = \frac{0}{6} = 0 \)
Таким образом, корни: \( x_1 = \frac{5}{3} \), \( x_2 = 0 \).
- Нахождение вершины параболы
Вершина квадратной функции находится по формуле:
\[ x_v = -\frac{b}{2a} \]
Подставляем наши значения:
\[ x_v = -\frac{-5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} \]
Теперь подставим это значение обратно в функцию, чтобы найти координату \( y \) вершины:
\[ f\left(\frac{5}{6}\right) = 3\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{6}\right) \]
Вычислим:
\[ f\left(\frac{5}{6}\right) = 3 \cdot \frac{25}{36} - \frac{25}{6} = \frac{75}{36} - \frac{150}{36} = -\frac{75}{36} = -\frac{25}{12} \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left( \frac{5}{6}, -\frac{25}{12} \right) \).
- Направление ветвей параболы
Поскольку коэффициент \( a = 3 > 0 \), ветви параболы направлены вверх.
Шаг 3: Визуализация
Теперь, зная все эти характеристики, мы можем нарисовать график функции. Он будет пересекаться с осью \( x \) в точках \( x = 0 \) и \( x = \frac{5}{3} \), иметь вершину в точке \( \left( \frac{5}{6}, -\frac{25}{12} \right) \) и направляться вверх.
Заключение
Мы проанализировали функцию \( f(x) = 3x^2 - 5x \), нашли её корни, координаты вершины и направление ветвей. Это поможет лучше понять, как ведет себя данная квадратичная функция. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разобрать что-то ещё, дайте знать!
