Решить

Привет! Давай вместе решим эту задачу поиском собственного вектора матрицы методом обратных итераций.

Что у нас есть: Матрица \( A \) \[ A = \begin{pmatrix} 8 & -1 & -3 \\ -8 & -5 & 3 \\ 2 & 7 & 7 \end{pmatrix} \] и приближенное значение собственного числа \( \lambda \approx 4.7 \).

Начальное приближение собственного вектора \( x^{(0)} \) - это \( (1,1,1)^T \).

Метод обратных итераций в общем виде заключается в следующем:

1. На каждом шаге решаем систему \( (A - \lambda I) x^{(k+1)} = x^{(k)} \), где \( x^{(k)} \) - это приближение собственного вектора на \( k \)-ом шаге.
2. Нормализуем полученный вектор \( x^{(k+1)} \), то есть делим каждую его компоненту на его норму (или на максимальный по модулю элемент вектора), чтобы вектор не стремился к бесконечности.

Применяем эти шаги к нашей задаче.

Первый шаг: решаем систему для \( x^{(1)} \): \[ (A - 4.7I)x^{(1)} = x^{(0)} \]

Получаем: [ \begin{pmatrix} 3.3 & -1 & -3 \ -8 & -9.7 & 3 \ 2 & 7 & 2.3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1^{(1)} \ x_2^{(1)} \ x_3^{(1)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix