Решить

Привет! Давай вместе разберёмся с этой задачей. Нам нужно найти собственный вектор матрицы A методом обратных итераций, соответствующий приближённому значению собственного числа λ ≈ 4.7.

Исходные данные: Матрица A: \[ \begin{pmatrix} 8 & -1 & -3 \\ -8 & -5 & 3 \\ 2 & 7 & 7 \end{pmatrix} \]

И начальное приближение собственного вектора x^(0) = (1,1,1)^T.

Метод обратных итераций заключается в следующем:

1. Сначала решаем систему (A - λI) y = x^(k), где I - единичная матрица, λ - приближенное собственное значение, x^(k) - начальное приближение вектора или результат предыдущей итерации, y - вектор, который мы находим на этом шаге.
2. Затем нормализуем вектор y, чтобы получить x^(k+1).
3. Повторяем шаги 1 и 2 нужное количество раз (в данном случае две итерации).

Давай выполним первую итерацию:

1. Найдём матрицу (A - λI): \[ A - λI = \begin{pmatrix} 8-4.7 & -1 & -3 \\ -8 & -5-4.7 & 3 \\ 2 & 7 & 7-4.7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3.3 & -1 & -3 \\ -8 & -9.7 & 3 \\ 2 & 7 & 2.3 \end{pmatrix} \]

2. Теперь решим систему (A - λI)y = x для x^(0) = (1,1,1)^T.