Олег кидает мяч в баскетбольную корзину 10 раз. Вероятность попадания при каждом отдельном броске независимо от других равна 0,8. Найдите вероятность того, что Олег попадёт в корзину ровно 5 раз.

Чтобы найти вероятность того, что Олег попадёт в корзину ровно 5 раз из 10 бросков при условии, что вероятность успешного броска равна 0,8, мы можем использовать формулу биномиального распределения. Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] Где: - \( P(X = k) \) — вероятность того, что произошло ровно \( k \) успешных исходов (в нашем случае попаданий). - \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который равен количеству способов выбрать \( k \) успешных исходов из \( n \) попыток. Он вычисляется как: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] - \( p \) — вероятность успеха (в данном случае 0,8). - \( n \) — общее количество испытаний (в данном случае 10). - \( k \) — количество успешных попыток (в данном случае 5). Теперь подставим наши значения: 1. У нас \( n = 10 \), \( k = 5 \) и \( p = 0,8 \). 2. Вычисляем биномиальный коэффициент \( C(10, 5) \): \[ C(10, 5) = \frac{10!}{5! \cdot (10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252 \] 3. Теперь подставим все значения в формулу: \[ P(X = 5) = C(10, 5) \cdot (0,8)^5 \cdot (1-0,8)^{10-5} \] Теперь рассчитает каждую часть: - Вычисляем \( (0,8)^5 \): \[ (0,8)^5 = 0,32768 \] - Вычисляем \( (1-0,8)^{10-5} = (0,2)^5 \): \[ (0,2)^5 = 0,00032 \] 4. Подставим это обратно в формулу: \[ P(X = 5) = 252 \cdot 0,32768 \cdot 0,00032 \] 5. Теперь умножим все части: \[ P(X = 5) = 252 \cdot 0,32768 \cdot 0,00032 = 0,026424 \] Итак, вероятность того, что Олег попадёт в корзину ровно 5 раз из 10 бросков составляет около \( 0,0264 \) или \( 2,64\% \).