реши номер 3

Для решения задачи №3, нужно упростить данное алгебраическое выражение:

\[ \frac{a - \sqrt{5}}{a + 2\sqrt{5a} + 5} \]

Шаг 1: Анализ знаменателя

Знаменатель \( a + 2\sqrt{5a} + 5 \) имеет вид полного квадрата. Можно его преобразовать следующим образом:

\[ (a + 2\sqrt{5a} + 5) = (\sqrt{a} + \sqrt{5})^2 \]

Шаг 2: Упрощение выражения

Теперь заметим, что оригинальное выражение можно переписать используя данный полный квадрат. Это позволяет нам выделить формулу сопряжённых выражений для числителя и знаменателя.

Числитель \( a - \sqrt{5} \) пока оставим как есть.

Заменим знаменатель:

\[ \frac{a - \sqrt{5}}{(\sqrt{a} + \sqrt{5})^2} \]

Чтобы упростить дробь, мы можем использовать метод сопряжённого выражения. Множим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя:

Сопряжённое для \( (\sqrt{a} + \sqrt{5})^2 \) будет \( \sqrt{a} - \sqrt{5} \).

\[ \frac{(a - \sqrt{5})(\sqrt{a} - \sqrt{5})}{((\sqrt{a} + \sqrt{5})(\sqrt{a} - \sqrt{5}))^2} \]

Шаг 3: Определение произведения сопряжённых выражений

В знаменателе:

\[ (\sqrt{a} + \sqrt{5})(\sqrt{a} - \sqrt{5}) = a - 5 \]

Возведем в квадрат:

\[ (a - 5)^2 \]

В числителе необходимо раскрыть скобки:

\( (a - \sqrt{5})(\sqrt{a} - \sqrt{5}) = a\sqrt{a} - 5\sqrt{a} - a\sqrt{5} + 5 \)

\[ = a\sqrt{a} - a\sqrt{5} - 5\sqrt{a} + 5 \]

Шаг 4: Итоговое выражение

Итак, мы выразили дробь в следующем виде:

\[ \frac{a\sqrt{a} - a\sqrt{5} - 5\sqrt{a} + 5}{(a - 5)^2} \]

Это будет наше упрощённое выражение. Окончательный вид зависит от того, требуется ли далее упростить выражения под корнем или оставить в таком виде, если данная форма удовлетворяет условиям задачи.

Таким образом, решение завершено!