Реши номер 3

Для решения задачи №3, нужно упростить данное алгебраическое выражение: \[ \frac{a - \sqrt{5}}{a + 2\sqrt{5a} + 5} \] **Шаг 1: Анализ знаменателя** Знаменатель \( a + 2\sqrt{5a} + 5 \) имеет вид полного квадрата. Можно его преобразовать следующим образом: \[ (a + 2\sqrt{5a} + 5) = (\sqrt{a} + \sqrt{5})^2 \] **Шаг 2: Упрощение выражения** Теперь заметим, что оригинальное выражение можно переписать используя данный полный квадрат. Это позволяет нам выделить формулу сопряжённых выражений для числителя и знаменателя. Числитель \( a - \sqrt{5} \) пока оставим как есть. Заменим знаменатель: \[ \frac{a - \sqrt{5}}{(\sqrt{a} + \sqrt{5})^2} \] Чтобы упростить дробь, мы можем использовать метод сопряжённого выражения. Множим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя: Сопряжённое для \( (\sqrt{a} + \sqrt{5})^2 \) будет \( \sqrt{a} - \sqrt{5} \). \[ \frac{(a - \sqrt{5})(\sqrt{a} - \sqrt{5})}{((\sqrt{a} + \sqrt{5})(\sqrt{a} - \sqrt{5}))^2} \] **Шаг 3: Определение произведения сопряжённых выражений** В знаменателе: \[ (\sqrt{a} + \sqrt{5})(\sqrt{a} - \sqrt{5}) = a - 5 \] Возведем в квадрат: \[ (a - 5)^2 \] В числителе необходимо раскрыть скобки: \( (a - \sqrt{5})(\sqrt{a} - \sqrt{5}) = a\sqrt{a} - 5\sqrt{a} - a\sqrt{5} + 5 \) \[ = a\sqrt{a} - a\sqrt{5} - 5\sqrt{a} + 5 \] **Шаг 4: Итоговое выражение** Итак, мы выразили дробь в следующем виде: \[ \frac{a\sqrt{a} - a\sqrt{5} - 5\sqrt{a} + 5}{(a - 5)^2} \] Это будет наше упрощённое выражение. Окончательный вид зависит от того, требуется ли далее упростить выражения под корнем или оставить в таком виде, если данная форма удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, решение завершено!