log_3^2(9x)-2log_3x=-12

Решим уравнение \( \log_3^2(9x) - 2\log_3(x) = -12 \).

Шаг 1: Применение свойств логарифмов

Чтобы упростить \( \log_3(9x) \), используем свойство логарифмов, которое говорит, что \( \log_b(mn) = \log_b(m) + \log_b(n) \).

1. Записываем \( \log_3(9x) \): \[ \log_3(9x) = \log_3(9) + \log_3(x) = \log_3(3^2) + \log_3(x) = 2 + \log_3(x) \]

Шаг 2: Подстановка в уравнение

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение: \[ \log_3^2(9x) = \log_3^2(2 + \log_3(x)) \] Наше уравнение теперь будет выглядеть так: \[ (2 + \log_3(x))^2 - 2\log_3(x) = -12 \]

Шаг 3: Раскрытие скобок

Раскроем квадрат: \[ (2 + \log_3(x))^2 = 4 + 4\log_3(x) + \log_3^2(x) \] Теперь уравнение можно записать так: \[ 4 + 4\log_3(x) + \log_3^2(x) - 2\log_3(x) = -12 \]

Шаг 4: Приведение подобных слагаемых

Соберем все слагаемые в одну сторону: \[ \log_3^2(x) + 4\log_3(x) - 2\log_3(x) + 4 + 12 = 0 \] Это упрощает уравнение: \[ \log_3^2(x) + 2\log_3(x) + 16 = 0 \]

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь можем обозначить \( y = \log_3(x) \). Подставим это в уравнение: \[ y^2 + 2y + 16 = 0 \]

Решаем это квадратное уравнение по формуле: \[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} = \frac{{-2 \pm \sqrt{{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{{-2 \pm \sqrt{{4 - 64}}}}{2} = \frac{{-2 \pm \sqrt{{-60}}}}{2} \] Здесь у нас дискриминант меньше нуля, что означает, что у данного уравнения нет действительных корней. То есть, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Вывод

Уравнение \( \log_3^2(9x) - 2\log_3x = -12 \) не имеет действительных решений.