f(x)= √t^2-t+1 вычислите f’(2)

Чтобы вычислить производную функции \( f(t) = \sqrt{t^2 - t + 1} \) и затем найти \( f'(2) \), давайте начнем с нахождения производной.

Используем правило цепочки и правило производной для корня:

1. Сначала найдем производную подкоренной функции: \( g(t) = t^2 - t + 1 \)

   • \( g'(t) = 2t - 1 \)

2. Теперь применим правило производной для корня: \[ f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{g(t)}} \cdot g'(t) \] Подставим \( g(t) \) и \( g'(t) \): \[ f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t^2 - t + 1}} \cdot (2t - 1) \]

Теперь подставим \( t = 2 \) в производную:

1. Сначала вычислим \( g(2) \): \[ g(2) = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3 \]

2. Теперь, подставим \( t = 2 \) в производную: \[ f'(2) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot (2 \cdot 2 - 1) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, \( f'(2) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).